Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC于點D，點E在邊AB上運動，過點E作EF∥BC與邊AC交于點F，連結FD，以EF、FD為鄰邊作?EFDG，當?EFDG與△ABC重疊部分為△ABC的面積的$\frac{1}{3}$時，線段EF的長為6-2$\sqrt{3}$或3+$\sqrt{33}$．

Answer 1

分析 由FE與BC平行，得到△AFE與△形ABC相似，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論，注意對重疊部分形狀進行分類討論．

解答 解：∵AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=6，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×12×8=48，
∵?EFDG與△ABC重疊部分為△ABC的面積的$\frac{1}{3}$，
∴S_{四邊形EFDG}=$\frac{1}{3}×$48=16，
設AD，EF交于H，
∵FE∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
∴$\frac{EF}{AH}=\frac{BC}{AD}$=$\frac{12}{8}$=$\frac{3}{2}$，
∴AH=$\frac{2EF}{3}$，
∴HD=8-$\frac{2EF}{3}$，
①當重疊面積為平行四邊形時（如圖），
S_重疊=S_{四邊形EFDG}=EF•DH=EF（8-$\frac{2EF}{3}$）=16，
∴EF=6-2$\sqrt{3}$（6+2$\sqrt{3}$不合題意，舍去），
②當重疊面積為梯形時（如圖）
S_重疊=S_梯形EFDB=$\frac{（EF+BD）×HD}{2}$=16
解得EF=3+$\sqrt{33}$（3-$\sqrt{33}$不合題意，舍去）；
故答案為：6-2$\sqrt{3}$或3+$\sqrt{33}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的面積，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．