Question

2．如圖，AB是半圓圓O的直徑，C是弧AB的中點(diǎn)，M是弦AC的中點(diǎn)，CH⊥BM，垂足為H．求證：CH²=AH•OH．

Answer 1

分析 連接OC、BC，可得∠BOC=∠BHC=90°，可得點(diǎn)O、B、C、H四點(diǎn)共圓，繼而根據(jù)圓周角定理得出∠OHB=∠OCB=45°，然后證明△AMH∽△BMA，根據(jù)相似得出角相等，進(jìn)而證得△AMH∽△BOH，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證得結(jié)果．

解答 解：連接OC、BC，
∵C是弧AB的中點(diǎn)，M是弦AC的中點(diǎn)，
∴∠BOC=∠BHC=90°，
則點(diǎn)O、B、C、H四點(diǎn)共圓，
∴∠OHB=∠OCB=45°，
∵∠BCM=90°，CH⊥BM，M為AC的中點(diǎn)，
∴AM²=CM²=MH•MB，
即$\frac{HM}{AM}$=$\frac{AM}{BM}$，
∴△AMH∽△BMA，
則∠MAH=∠MBA，∠AHN=∠BAM=45°，
∴∠AHM=∠BHO，
∴△AMH∽△BOH，
∴$\frac{AH}{BH}$=$\frac{MH}{OH}$，
則AH•OH=MH•BH，
∵CH²=MH•HB，
∴CH²=AH•OH．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四點(diǎn)共圓的知識(shí)，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及射影定理等知識(shí)的運(yùn)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)∠BOC=∠BHC=90°得出四點(diǎn)共圓，本題涉及知識(shí)點(diǎn)較多，比較復(fù)雜，難度適中．