Question

1．（1）問題背景  Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，連接AE，CD，如圖1，求證：AE=CD，AE⊥CD．

（2）類比探索：若將（1）中的Rt△DBE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，如圖2，問（1）中線段AE，CD之間數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
（3）拓展延伸：在圖2中，將“AB=BC，DB=EB”改為“AB=kBC，DB=kEB，k＞1”其它條件均不變，如圖3，問（1）中線段AE，CD間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系怎樣？若成立，請給與證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先判定△ABE≌△CBD，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得出結(jié)論；
（2）先判定△ABE≌△CBD，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等即可得出結(jié)論；
（3）先判定△AEB∽△CDB，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等進行推導(dǎo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在△ABE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{EB=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，且∠AEB=∠CDB，
∵∠CDB+∠BCD=90°，
∴∠AEB+∠BCD=90°，
∴∠CKE=90°，即AE⊥CD．

（2）AE=CD，AE⊥CD．
證明：∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠DBE+∠ABD=∠ABC+∠ABD，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{EB=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，且∠BAE=∠BCD，
∵∠BCD+∠BOC=90°，∠BOC=∠AOK，
∴∠AOK+∠BAE=90°，
∴∠AKO=90°，即AE⊥CD．

（3）AE=$\frac{1}{k}$CD，AE⊥CD．
證明：∵AB=kBC，DB=kEB，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{BD}=\frac{1}{k}$，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠DBE+∠ABD=∠ABC+∠ABD，
即∠ABE=∠CBD，
∴△AEB∽△CDB，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{k}$，且∠EAB=∠DCB，
∴AE=$\frac{1}{k}$CD，
∵∠BCD+∠BOC=90°，∠BOC=∠AOK，
∴∠AOK+∠BAE=90°，
∴∠AKO=90°，即AE⊥CD．

點評 本題以旋轉(zhuǎn)為背景，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．尋找相似三角形的一般方法是依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形．