Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A（3，0）、B（0，3）．
（1）求一次函數(shù)的解析式：
（2）若點(diǎn)P在該函數(shù)圖象上，P到x軸、y軸的距離分別為d₁，d₂，求d₁-d₂的取值范圍；
（3）在△AOB內(nèi)部作正方形，使正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都落在該三角形的邊上，求正方形落在x軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m+3），表示出d₁、d₂，兩者做差，根據(jù)m的取值范圍不同，找出d₁-d₂的值，由此即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況：①點(diǎn)O為正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，根據(jù)正方形以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可算出點(diǎn)D的坐標(biāo)；②正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)落在線段AB上，利用等腰直角三角形以及正方形的性質(zhì)求出AM的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出AF的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)A（3，0）、B（0，3）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+3．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m+3），
∴d₁=|m|，d₂=|-m+3|，
∴d₁-d₂=|m|-|-m+3|．
當(dāng)m＜0時(shí)，-m+3＞0，
d₁-d₂=|m|-|-m+3|=-m-（-m+3）=3；
當(dāng)0≤m≤3時(shí)，-m+3≥0，
d₁-d₂=|m|-|-m+3|=m-（-m+3）=2m-3，
∵0≤m≤3，
∴-3≤d₁-d₂≤3；
當(dāng)3＜m時(shí)，-m+3＜0，
d₁-d₂=|m|-|-m+3|=m-（m-3）=3．
綜上可知：當(dāng)點(diǎn)P在該函數(shù)圖象上時(shí)，P到x軸、y軸的距離分別為d₁，d₂，則d₁-d₂的取值范圍為-3≤d₁-d₂≤3．
（3）分兩種情況：
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)O為正方形的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，
∵OA=OB，
∴∠BAO=45°，
∵CD⊥OA，
∴CD=AD．
∵四邊形ODCE是正方形，
∴OD=CD，
∴OD=AD，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，
∴落在x軸上的頂點(diǎn)（0，0），（$\frac{3}{2}$，0）；
②如圖2，當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)落在線段AB上時(shí)，
∵∠BAO=∠ABO=45°，
∴△AFE和△BGN均為等腰直角三角形，
∴BN=GN，AM=FM，
∵四邊形FMNG為正方形，
∴AM=MN=BN，
∴AM=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}$$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AF=$\sqrt{2+2}$=2．
∵OA=3，
∴OF=3-2=1，
∴落在x軸上的頂點(diǎn)F（1，0）．
綜上可知：正方形落在x軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）、（$\frac{3}{2}$，0）和（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）分m的范圍不同求d₁-d₂的取值范圍；（3）分情況討論．本題屬于中檔題，難度不大，本題的（3）為該題的難點(diǎn)，在解決該問時(shí)要注意，正方形有兩種情況，很多同學(xué)往往會(huì)落掉第二種情況，應(yīng)加強(qiáng)該方面知識(shí)的練習(xí)．