Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．點M在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時點N在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒，運動時間為t秒．
（1）當t為何值時，∠AMN=∠ANM；
（2）當t為何值時，△ABC與△AMN相似？

Answer 1

考點：相似三角形的判定,等腰三角形的性質

專題：

分析：（1）由條件可知AM=12-t，AN=2t，利用條件可得到AM=AN，從而可得到關于t的方程，可求出t；
（2）當∠MNA=90°時，可得

AN

AC

=

AM

AB

，當∠NMA=90°時，有

AN

AB

=

AM

AC

，分別代入可得到關于t的方程，可求得t．

解答：解：
（1）∵BC=5米，AC=12米，
∴AM=12-t，AN=2t，
若∠AMN=∠ANM，則AM=AN，
即12-t=2t，
解得t=4秒
即當t為4秒時，∠AMN=∠ANM；
（2）∵∠C=90°，
∴當△ABC和△AMN相似時，有∠MNA=90°和∠NMA=90°兩種情況，且可求得AB=13，
當∠MNA=90°時，可得

AN

AC

=

AM

AB

，即

2t

12

=

12-t

13

，解得t=

72

19

；
當∠NMA=90°時，可得

AN

AB

=

AM

AC

，即

2t

13

=

12-t

12

，解得t=

156

37

；
即當t為

72

19

秒或

156

37

秒時，△ABC與△AMN相似．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵，注意利用時間t表示出線段的長，化動為靜是這類問題的一般思路．