Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，DF切⊙O于E點(diǎn)，分別與CA、CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、F，已知AB∥DF，CD=4，CF=3，則AC=（　�。�

• A、

  9

  5

• B、

  15

  8

• C、

  48

  25

• D、

  96

  49

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：連接OE，作CN⊥DF，交AB于M，交DF于N，易證△ABC∽△DFC，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可求出BC：AC：AB=CF：CD：DF=3：4：5，設(shè)AB=5α，則AC=4α，OE=MN=2.5α，根據(jù)CM²=AM×BM=3.2×1.8α²，即可出CM的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AC的長(zhǎng)．

解答： 解：

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
∵CD=4，CF=3，
∴DF=5，
∵AB∥DF，
∴△ABC∽△DFC，
∴BC：AC：AB=CF：CD：DF=3：4：5，
連接OE，
∵DF是切線，
∴OE⊥DF，
作CN⊥DF，交AB于M，交DF于N，
則MN=OE（平行線間的距離相等），
設(shè)AB=5α，則AC=4α，OE=MN=2.5α，
∵AC²=AM×AB，
∴16α²=5αAM，
∴AM=3.2α，BM=AB-AM=1.8α，
∵CM²=AM×BM=3.2×1.8α²，
∴CM=2.4α²
則CN=CM+MN=4.9α，
∵AB∥DF，
∴AC：CD=CM：CN=

24

49

．
∴AC=

24

49

CD=

96

49

，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．