Question

7．三角形兩邊長(zhǎng)分別是3和4，第三邊的長(zhǎng)是一元二次方程x²-8x+15=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則此三角形的面積=6或2$\sqrt{5}$．已知關(guān)于x的方程kx²-6x+9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k＜1且k≠0．

Answer 1

分析 （1）先解方程，再分別畫出圖形根據(jù)面積公式求三角形面積即可；
（2）因?yàn)榉匠蘫x²-6x+9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以△＞0，列不等式，解出，同時(shí)此方程有兩個(gè)解，所以二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即k≠0．

解答 解：（1）x²-8x+15=0，
（x-3）（x-5）=0，
x=3或5，
∵三角形兩邊長(zhǎng)分別是3和4，
∴1＜第三邊的長(zhǎng)＜7，
∴x=3或5都符合題意，
①當(dāng)?shù)谌�邊�?時(shí)，如圖1，過A作AD⊥BC，垂足為D，
∵AB=AC=3，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4=2，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$×$4×\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
②當(dāng)?shù)谌�邊�?時(shí)，如圖2，
∵3²+4²=5²，
∴此三角形是直角三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
則此三角形的面積為2$\sqrt{5}$或6；
（2）kx²-6x+9=0
∵關(guān)于x的方程kx²-6x+9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=（-6）²-4k×9＞0，
k＜1且k≠0，
故答案為：2$\sqrt{5}$或6；k＜1且k≠0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式、解一元二次方程、三角形的面積及三邊關(guān)系，已知三角形的兩邊，確定第三邊時(shí)，根據(jù)三邊關(guān)系得：兩邊的差＜第三邊＜兩邊的和；同時(shí)還要熟練掌握一元二次方程的解法及根的判別式，要注意滿足一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0．