Question

7．已知矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=$2\sqrt{3}$，將該矩形紙片沿對(duì)角線AC剪開，得到兩張三角形紙片（如圖1），再將這兩張三角形紙片擺成如圖2的形狀，使得點(diǎn)B、C、F、D在同一直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合．此時(shí)將△ABC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿直線BD向左平移，直至點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)△ABC運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)E落在線段AC上？
（2）設(shè)在平移的過程中△ABC與△DEF重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相對(duì)應(yīng)t的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)如圖3，將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到△A₁BC₁，直線EF分別與直線A₁B、直線A₁C₁交于點(diǎn)M、N，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得△A₁MN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)線段EM的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點(diǎn)E落在AC上時(shí)，解Rt△CDE，由CD=t-6，DE=2$\sqrt{3}$，∠DCE=60°，可得$\sqrt{3}$CD=DE，即$\sqrt{3}$（t-6）=2$\sqrt{3}$，解方程即可；
（2）△ABC沿直線BD向左平移時(shí)，因?yàn)椤鰽BC與△DEF重疊部分的形狀不同，可以分四種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0≤t≤2$\sqrt{3}$時(shí)，重疊部分為直角三角形CMF；②當(dāng)2$\sqrt{3}$＜t≤6時(shí)，重疊部分為四邊形BCNM；③當(dāng)6＜t≤8時(shí)，重疊部分為五邊形BDPNM；④當(dāng)8＜t≤6+2$\sqrt{3}$時(shí)，重疊部分為直角梯形BMED；分別求出面積即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，如果△A₁MN為等腰三角形，可分三種情況進(jìn)行討論：①A₁M=A₁N；②MA₁=MN；③NA₁=NM．

解答 解：（1）由題意知，Rt△ABC與Rt△DEF中，∠CAB=∠DFE=30°．
當(dāng)點(diǎn)E落在AC上時(shí)，CD=t-6，DE=2$\sqrt{3}$，∠DCE=60°，
則$\sqrt{3}$CD=DE，即$\sqrt{3}$（t-6）=2$\sqrt{3}$，
解得t=8；

（2）分四種情況：
①當(dāng)0≤t≤2$\sqrt{3}$時(shí)，如圖1．
在△CFM中，
∵∠MCF=60°，∠CFM=30°，
∴∠CMF=90°，
∵CF=t，
∴CM=$\frac{1}{2}$t，F(xiàn)M=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$CM•FM=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²；
②當(dāng)2$\sqrt{3}$＜t≤6時(shí)，如圖2．
在Rt△BFM中，
∵∠F=30°，BF=CF-BC=t-2$\sqrt{3}$，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-2，
∴AM=AB-BM=6-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+2=8-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴MN=$\frac{1}{2}$AM=4-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t，AN=$\sqrt{3}$MN=4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$t，
∴S=S_△ABC-S_△AMN
=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t）（4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$t）
=-$\frac{\sqrt{3}}{24}$t²+2t-2$\sqrt{3}$；
③當(dāng)6＜t≤8時(shí)，如圖3．
在Rt△CDP中，
∵∠CPD=30°，CD=t-6，
∴PD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$（t-6），
∴S=S_△ABC-S_△AMN-S_△CPD
=-$\frac{\sqrt{3}}{24}$t²+2t-2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$（t-6）×（t-6）
=-$\frac{13\sqrt{3}}{24}$t²+（6$\sqrt{3}$+2）t-20$\sqrt{3}$；
④當(dāng)8＜t≤6+2$\sqrt{3}$時(shí)，如圖4．
∵CD=t-6，
∴BD=BC-CD=2$\sqrt{3}$+6-t．
在Rt△BFM中，
∵∠F=30°，BF=CF-BC=t-2$\sqrt{3}$，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-2，
∴S=$\frac{1}{2}$（BM+DE）•BD
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-2+2$\sqrt{3}$）（2$\sqrt{3}$+6-t）
=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t²+2t+4$\sqrt{3}$；
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：
$S=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{3}}}{8}{t^2}（0≤t≤2\sqrt{3}）\\-\frac{{\sqrt{3}}}{24}{t^2}+2t-2\sqrt{3}（2\sqrt{3}＜t≤6）\\-\frac{13}{24}\sqrt{3}{t^2}+（6\sqrt{3}+2）t-20\sqrt{3}（6＜t≤8）\\-\frac{{\sqrt{3}}}{6}{t^2}+2t+4\sqrt{3}（8＜t≤6+2\sqrt{3}）\end{array}\right.$；

（3）存在這樣的點(diǎn)M、N，理由如下：
由題意得△A₁MN∽△FMB，
即當(dāng)△A₁MN為等腰三角形時(shí)，△FMB也為等腰三角形．
①如圖5，當(dāng)A₁M=A₁N時(shí)，即FB=FM=6，
若點(diǎn)M在線段EF上時(shí)，EM=EF-FM=4$\sqrt{3}$-6；
若點(diǎn)M在線段EF的延長(zhǎng)線上時(shí)，EM=EF+FM=4$\sqrt{3}$+6；
②如圖6，當(dāng)MA₁=MN時(shí)，即MB=MF，則點(diǎn)M在線段BF的中垂線上，過M作MT⊥BF于點(diǎn)T，則BT=FT=3，
∴MT=$\sqrt{3}$，MF=$2\sqrt{3}$，
∴EM=EF-MF=4$\sqrt{3}$-$2\sqrt{3}$=$2\sqrt{3}$；
③當(dāng)NA₁=NM時(shí)，即BM=BF=6，但是BA₁=BF=6，所以A₁、M、N三點(diǎn)重合，不合題意；
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)M、N，使得△A₁MN為等腰三角形，此時(shí)線段EM的長(zhǎng)度為4$\sqrt{3}$-6或4$\sqrt{3}$+6或$2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何變換綜合題，其中涉及到矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，多邊形的面積，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．