Question

17．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=BC=CD=4，AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=120°．△AEF為等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上滑動(dòng)，且點(diǎn)E，F(xiàn)不與點(diǎn)B，C，D重合，
（1）求證：不論點(diǎn)E，F(xiàn)在BC，CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；
（2）當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在BC，CD上滑動(dòng)時(shí)．分別判斷四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化．

Answer 1

分析 （1）先求證AB=AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠3=60°，AC=AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S_△ABE=S_△ACF，故根據(jù)S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC即可解題；當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又根據(jù)S_△CEF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF，則△CEF的面積就會(huì)最大．

解答 （1）證明：連接AC，如圖所示，
∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，
∠1+∠EAC=60°，∠2+∠EAC=60°，
∴∠1=∠2，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD為等邊三角形，
∴∠3=60°，AC=AB，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AB=AC}\\{∠ABC=∠3}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF；

（2）解：四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
則S_△ABE=S_△ACF，
故S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H點(diǎn)，則BH=2，
S_{四邊形AECF}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$BC•$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．
故△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化．
S_△CEF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF，則△CEF的面積就會(huì)最大．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)及三角形面積的計(jì)算，求證△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵，有一定難度．