Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，點D在AB邊上，∠EDF=60°．
（1）當(dāng)點D為AB中點時，且∠EDF的兩邊分別交線段AC、BC于點E、F，如圖1，求證：DE=DF；
（2）當(dāng)點D不是AB中點，且

AD

AB

=

1

3

時，
①若∠EDF的兩邊分別交線段AC、BC于點E、F，如圖2，求

DE

DF

；
②若∠EDF的邊DE交線段AC于點E，邊DF交BC延長線于點F，如圖3，直接寫出

DE

DF

的值．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一，可得CD平分∠ACB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DG與DH的關(guān)系，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，可得∠DFH=∠DEG，根據(jù)AAS，可得△DGE≌△DHF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，可得△ADG∽△BDH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

DG

DH

=

AD

BD

=

1

2

，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)∠A=∠B，∠AGD=∠BHD，可得△ADG∽△BDH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得

DG

DH

=

AD

BD

=

1

2

，根據(jù)∠EDI=∠ICF，∠EID=∠FIC，∠EDI+∠EID+∠DEI=∠FIC+∠FCI+CFI=180°，可得∠DEG=∠DFH，根據(jù)兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，可得△DEG∽△DFH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案．

解答：解：（1）連接CD，過點D作DG⊥AC于點G，DH⊥BC于點H，，
∴∠DGE=∠DHF=90°，
∵AC=BC，點D為AB中點，
∴CD平分∠ACB，
∴DG=DH．
∵∠ACB=120°，∠EDF=60°，
∴∠DEC+∠DFH=180°，
∵∠DEC+∠DEG=180°，
∴∠DFH=∠DEG，
在△DGE和△DHF中，

∠DGE=∠DHF ∠DEG=∠DFH DG=DH

，
∴△DGE≌△DHF（AAS），
∴DE=DF

（2）①過點D作DG⊥AC于點G，DH⊥BC于點H，，
∴∠DGE=∠DHF=∠DGA=∠DHC=90°．
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∴△ADG∽△BDH，
∵

AD

AB

=

1

3

，
∴

DG

DH

=

AD

BD

=

1

2

，
∵∠DGE=∠DHF，∠DFH=∠DEG，
∴△DGE∽△DHF，
∴

DE

DF

=

DG

DH

=

1

2

，
②如圖3作DG⊥AC與G點，DH⊥BC與H點，

DE

DF

=

1

2

．

點評：本題考查了相似形綜合題，利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．