Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=4

2

，BC=8．⊙A的半徑為2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心，以PB為半徑作⊙P，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)⊙P與直線AC相切時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)⊙P與⊙A相切時(shí)，求t的值；
（3）延長(zhǎng)BA交⊙A于點(diǎn)D，連接AP交⊙A于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F．當(dāng)△ABP與△FBD相似時(shí)，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AC，垂足為點(diǎn)K，根據(jù)⊙P與直線AC相切可知BP=PK=t．故可得出△ABC是等腰直角三角形，△PKC是等腰直角三角形，故PC=

2

PK=

2

t，由此可得出t的值；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，故AP²=AM²+PM²，AM=

1

2

BC=4，PM=t-4或4-t，再根據(jù)⊙P與⊙A外切，⊙P與⊙A內(nèi)切兩種情況即可得出t的值；
（3）當(dāng)△ABP∽△FBD時(shí)，∠D=∠BPA，根據(jù)∠D=∠AED=∠FEP可得∠D=∠AED=∠FEP=∠BPA，故∠BFD=2∠D，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠D的度數(shù)，故可得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AC，垂足為點(diǎn)K，
∵⊙P與直線AC相切，
∴BP=PK=t．
∵AB=AC=4

2

，BC=8，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴△PKC是等腰直角三角形．
∴PC=

2

PK=

2

t，
∴t+

2

t=8．
解得t=8

2

-8；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，則AP²=AM²+PM²，
AM=

1

2

BC=4，PM=t-4或4-t，
若⊙P與⊙A外切，則（t+2）²=4²+（t-4）²，
解得t=

7

3

．
若⊙P與⊙A內(nèi)切，則（t-2）²=4²+（t-4）²，
解得t=7．
綜上所述，當(dāng)t=

7

3

或t=7時(shí)，⊙P與⊙A相切．

（3）當(dāng)△ABP∽△FBD時(shí)，∠D=∠BPA，
∵∠D=∠AED=∠FEP，
∴∠D=∠AED=∠FEP=∠BPA．
∴∠BFD=2∠D．
∵∠D+∠B+∠BFD=180°，
∴∠D=45°，
∴∠BAP=90°．
∴AP與AC重合，
∴t=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度較大．