Question

14．已知關(guān)于x的方程（a+c）x²+bx-（a+2c）=0的兩根之和為1，兩根的倒數(shù)和為-2．
（1）求這個(gè)方程的兩根之積；
（2）求a：b：c．

Answer 1

分析 （1）設(shè)關(guān)于x的方程（a+c）x²+bx-（a+2c）=0的兩根為x₁，x₂，由題意得x₁+x₂=1，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2，即可求出兩根之積；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-$\frac{a+c}$=1，x₁x₂=-$\frac{a+2c}{a+c}$=-$\frac{1}{2}$，由-$\frac{a+2c}{a+c}$=-$\frac{1}{2}$，得出a=-3c，代入-$\frac{a+c}$=1，得出b=-a-c=2c，根據(jù)一元二次方程的定義得到a+c≠0，則c≠0，進(jìn)而求出a：b：c的值．

解答 解：（1）設(shè)關(guān)于x的方程（a+c）x²+bx-（a+2c）=0的兩根為x₁，x₂，
由題意得，x₁+x₂=1，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2，
即$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2，
所以x₁x₂=-$\frac{1}{2}$；

（2）∵x₁x₂=-$\frac{a+2c}{a+c}$=-$\frac{1}{2}$，
∴a+c=2a+4c，
∴a=-3c．
∵x₁+x₂=-$\frac{a+c}$=1，
∴b=-a-c=2c，
∵a+c≠0，
∴c≠0，
∴a：b：c=-3c：2c：c=-3：2：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．同時(shí)考查了一元二次方程的定義．