Question

4．如圖，直線y=-$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于點B，與y軸交于點C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B、C和點A（-1，0）．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若拋物線的對稱軸與x軸的交點為點D，則在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求得B、C的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），將點C的坐標(biāo)代入求解即可；
（2）如圖1所示：先求得拋物線的對稱軸方程則可得到OD的長，然后依據(jù)勾股定理可求得CD的長，然后可求得點P和點P′的坐標(biāo)，然后過點C作CE⊥對稱軸，垂足為E，然后依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到DE=OC=2，故此可得到點P″的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點F（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），則E（a，-$\frac{1}{2}$a+2），則FE=-$\frac{1}{2}$a²+2a，然后可得到△CBF的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，從而可得到△CBF的最大值，從而可確定出點E的坐標(biāo)，最后依據(jù)四邊形CDBF的最大面積=△CBD的面積+△BCF的最大面積求解即可．

解答 解：（1）令直線y=-$\frac{1}{2}$x+2中，y=0得：-$\frac{1}{2}$x+2=0，解得x=4，
∴B（4，0）．
令x=0得：y=2，
∴C（0，2）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），將點C的坐標(biāo)代入得：-4a=2，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）如圖2所示：

拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$=$\frac{3}{2}$，
∴OD=$\frac{3}{2}$．
又∵OC=2，
∴DC=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
當(dāng)PD=DC時，P（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
當(dāng)P′D=CD時，P′（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
過點C作CE⊥對稱軸，垂足為E．
又∵CP″=CD，
∴CE=EP″．
∵DE=CO=2，
∴DP″=4．
∴P″（$\frac{3}{2}$，4）．
∴點P的坐標(biāo)為P（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或P′（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或P″（$\frac{3}{2}$，4）．
（3）如圖2所示．

∵△CBD的面積為定值，
∴△CBF的面積最大時，四邊形的面積最大．
設(shè)點F（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），則E（a，-$\frac{1}{2}$a+2），則FE=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}$a+2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a．
∴△CBF的面積=$\frac{1}{2}$OB•EF=-a²+4a=-（a-2）²+4．
∴E（2，1），△CBF的最大面積為4．
∴四邊形CDBF的最大面積=△CBD的面積+△BCF的面積=$\frac{1}{2}$BD•OC+4=6.5．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)題意列出△CBF的面積與a的函數(shù)關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．