Question

3．已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)分別為-1，3，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x．
（1）若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)；
（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5？若存在，請求出x的值．若不存在，請說明理由？
（3）當(dāng)點(diǎn)P以每分鐘一個(gè)單位長度的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)A以每分鐘5個(gè)單位長度向左運(yùn)動，點(diǎn)B一每分鐘20個(gè)單位長度向左運(yùn)動，問它們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后P點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，結(jié)合數(shù)軸可得答案；
（2）此題要分兩種情況：①當(dāng)P在AB左側(cè)時(shí)，②當(dāng)P在AB右側(cè)時(shí)，然后再列出方程求解即可；
（3）點(diǎn)P、點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)向左運(yùn)動，點(diǎn)B的運(yùn)動速度最快，點(diǎn)P的運(yùn)動速度最慢．故P點(diǎn)總位于A點(diǎn)右側(cè)，B可能追上并超過A．P到A、B的距離相等，應(yīng)分兩種情況討論．

解答 解：（1）如圖，若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，P為AB的中點(diǎn)，BP=PA．

依題意得3-x=x-（-1），
解得x=1；
（2）由AB=4，若存在點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5，P不可能在線段AB上，只能在A點(diǎn)左側(cè)，或B點(diǎn)右側(cè)．
①P在點(diǎn)A左側(cè)，PA=-1-x，PB=3-x，
依題意得（-1-x）+（3-x）=5，
解得  x=-1.5；
②P在點(diǎn)B右側(cè)，PA=x-（-1）=x+1，PB=x-3，
依題意得（x+1）+（x-3）=5，
解得x=3.5；

（3）設(shè)運(yùn)動t分鐘，此時(shí)P對應(yīng)的數(shù)為-t，B對應(yīng)的數(shù)為3-20t，A對應(yīng)的數(shù)為-1-5t．
①B未追上A時(shí)，PA=PA，則P為AB中點(diǎn)．B在P的右側(cè)，A在P的左側(cè)．
PA=-t-（-1-5t）=1+4t，PB=3-20t-（-t）=3-19t，
依題意有1+4t=3-19t，
解得 t=$\frac{2}{23}$；
②B追上A時(shí)，A、B重合，此時(shí)PA=PB．A、B表示同一個(gè)數(shù)．
依題意有-1-5t=3-20t，
解得t=$\frac{4}{15}$．
即運(yùn)動$\frac{2}{23}$或$\frac{4}{15}$分鐘時(shí)，P到A、B的距離相等．

點(diǎn)評 此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，以及數(shù)軸，關(guān)鍵是理解題意，表示出兩點(diǎn)之間的距離，利用數(shù)形結(jié)合法列出方程．