Question

6．如圖，⊙O中弦AB⊥弦CD于E，延長AC、DB交于點P，連接AO、DO、AD、BC．
（1）求證：∠AOD=90°+∠P；
（2）若AB平分∠CAO，求證：AD=AB；
（3）在（2）的條件下，若⊙O的半徑為5，PB=$\frac{15}{4}$，求弦BC的長．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理可知∠AOD=2∠ACD，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)可得到∠AOD=2∠CDP+2∠P，接下來，依據(jù)∠CAE=∠CDP，可將∠AOD轉(zhuǎn)化為∠CDP、∠CAE、2∠P，最后根據(jù)∠CAE+∠CDP+∠P=90°可證得問題的答案；
（2）延長AO交BD與點F．首先證明∠AFB=∠AEC=90°，接下來，再證明△AFD≌△ADB，由全等三角形的性質(zhì)可得到AB=AD；
（3）延長AO交BD與點G交⊙O與點F，連結(jié)BF、OB．依據(jù)弧、弦、弦心距之間的關(guān)系可知BC=FB，接下來，證明OB∥AP，依據(jù)平行線分線段成比例定理可知$\frac{GB}{BP}=\frac{OG}{OA}$，故此可得到$\frac{BG}{OG}$=$\frac{3}{4}$，在△OBG中由勾股定理可得到OG=4，BG=3，從而可求得GF=1，在Rt△BGF中，由勾股定理得可求得BF的長，于是得到BC的長．

解答 解：（1）∵∠CDP+∠P=∠ACD，∠AOD=2∠ACD，
∴∠AOD=2∠CDP+2∠P．
∵∠CAE=∠CDP，
∴∠AOD=∠CDP+∠CAE+∠P+∠P
∵AB⊥CD，
∴∠CAE+∠ACD=90°．
∴∠CAE+∠CDP+∠P=90°．
∴∠AOD=90°+∠P．
（2）如圖1所示：延長AO交BD與點F．

∵AB平分∠CAO，
∴∠CAE=∠BAF．
又∵∠ACE=∠ABF，
∴△ACE∽△ABF．
∴∠AFB=∠AEC=90°．
∴AF⊥BD．
∴FD=BF．
在△ABF和△ADF中$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠AFD=∠AFB}\\{DF=FB}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△ADB．
∴AB=AD．
（3）延長AO交BD與點G交⊙O與點F，連結(jié)BF、OB．

∵∠CAB=∠OAB，
∴$\widehat{BC}=\widehat{BF}$．
∴BC=FB．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∴∠CAB=∠OBA．
∴OB∥AP．
∴$\frac{GB}{BP}=\frac{OG}{OA}$．
∴$\frac{GB}{OG}=\frac{PB}{OA}$=$\frac{3}{4}$．
設(shè)OG=4k，GB=3k．
在△OBG中，由勾股定理可知：（4k）²+（3k）²=25．
解得：k=1（負值已舍去）．
∴OG=4，BG=3．
∴GF=1．
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF=$\sqrt{B{G}^{2}+G{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∴BC=$\sqrt{10}$．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了圓周角定理、平行線分線段成比例定理，全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用、三角形單位外角的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．