Question

2．已知拋物線y=x²+bx+c的對稱軸l交x軸于點A．
（1）若此拋物線經(jīng)過點（1，2），當點A的坐標為（2，0）時，求此拋物線的解析式；
（2）拋物線y=x²+bx+c交y軸于點B，將該拋物線平移，使其經(jīng)過點A，B，且與x軸交于另一點C，若b²=2c，b≤-1，設線段OB，OC的分別為m，n，試比較m與n+$\frac{3}{2}$的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）先求得A、B點的坐標，然后設平移后的拋物線的解析式為y=（x+$\frac{2}$+h）²+$\frac{^{2}}{4}$+k，代入A、B的坐標，求得$\left\{\begin{array}{l}{h=\frac{4}}\\{k=-\frac{5^{2}}{16}}\end{array}\right.$，從而求得平移后的解析式為y=（x+$\frac{2}$+$\frac{4}$）²+$\frac{^{2}}{4}$-$\frac{5^{2}}{16}$=x²+$\frac{3}{2}$bx+$\frac{1}{2}$b²，然后求得C的坐標，即可求得m=-$\frac{2}$，n=-b，即可判斷m與n+$\frac{3}{2}$的大小．

解答 解：（1）根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=2}\\{-\frac{2a}=2}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴此拋物線的解析式為y=x²-4x+5；
（2）由拋物線y=x²+bx+c交y軸于點B，對稱軸l交x軸于點A．
∴B（0，c），A（-$\frac{2}$，0），
∵b²=2c，
∴c=$\frac{^{2}}{2}$
∴y=x²+bx+c=x²+bx+$\frac{^{2}}{2}$=（x+$\frac{2}$）²+$\frac{^{2}}{4}$，
設平移后的拋物線的解析式為y=（x+$\frac{2}$+h）²+$\frac{^{2}}{4}$+k，
∵其經(jīng)過點A，B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{^{2}}{2}=（\frac{2}+h）^{2}+\frac{^{2}}{4}+k}\\{0={h}^{2}+\frac{^{2}}{4}+k}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{h=\frac{4}}\\{k=-\frac{5^{2}}{16}}\end{array}\right.$，
∴平移后的拋物線的解析式為y=（x+$\frac{2}$+$\frac{4}$）²+$\frac{^{2}}{4}$-$\frac{5^{2}}{16}$=x²+$\frac{3}{2}$bx+$\frac{1}{2}$b²，
令y=0，則x²+$\frac{3}{2}$bx+$\frac{1}{2}$b²=0，
解得x₁=-$\frac{2}$，x₂=-b，
∴C（-b，0），
∴m=-$\frac{^{2}}{2}$，n=-b，
∴n+$\frac{3}{2}$=-b+$\frac{3}{2}$，
∵b≤-1，
∴m＜n+$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)圖象與幾何變換，求得平移后的解析式是解題的關鍵．