Question

4．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以BC為直徑作⊙O交AB于點D．

（1）點E是線段AC上的一點，試問當點E在什么位置時，直線ED與⊙O相切？請說明理由
（2）過O作BC的垂線交⊙O于F點，交AB于G點，求tan∠FBG．

Answer 1

分析 （1）連接OD，CD，根據直角三角形的性質得到ED=EC，由等腰三角形的性質得到∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD．推出∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°，于是得到結論；
（2）過G作GH⊥BF于H，根據勾股定理得到AB=5，推出△BOF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到OF=$\frac{1}{2}$BC=2，∠F=45°，得到△HFG是等腰直角三角形，根據三角形的中位線的性質得到OG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，BG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，解直角三角形即可得到結論．

解答 解：（1）當點E是AC的中點時，直線ED與⊙O相切，
理由如下：連接OD，CD，
∵DE是Rt△ADC的中線．
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD．
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°，
∴ED與⊙O相切；

（2）過G作GH⊥BF于H，
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵OF⊥BC，
∴△BOF是等腰直角三角形，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=2，∠F=45°，
∴△HFG是等腰直角三角形，
∵OG⊥BC，∠C=90°，
∴OG∥AC，
∴OG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，BG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴FG=$\frac{1}{2}$，
∴HG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴BH=$\sqrt{B{G}^{2}-G{H}^{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，
∴tan∠FBG=$\frac{HG}{HB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{7\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{1}{7}$．

點評 本題考查的是切線的判定定理、解直角三角形的應用，掌握經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關鍵．