Question

1．已知菱形ABCD，點A和點D分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，0為坐標軸原點，點A，D坐標分別是A（-4，0）和D（0，3），拋物線的對稱軸是直線x=$\frac{5}{2}$；拋物線的圖象y=ax²+bx+c（a≠0）經過點B，D； 
（1）求出拋物線對應的解析式．
（2）試判斷C點是否在拋物線上，并說明理由．
（3）圖（1）中，若M點在CB所在直線下方，過點M作MN∥OD，交BC于點N；設點M的橫坐標為a，MN的長度為b，并求出b最值．
（4）圖（2）中，在（3）的條件下，設線段MN與x軸的交點為E，過點C作CF⊥OX，垂足是F，當△BEN與△BCF相似比為1：2時，連接MF；試判斷四邊形NMFC是否為平行四邊形，并求出此時點E的坐標．

Answer 1

分析 （1））由拋物線與x軸的交點B（1，0），且拋物線的對稱軸為x=$\frac{5}{2}$，推出拋物線與x軸的另一個交點為（4，0），設拋物線解析式為y=a（x-1）（x-4），將點D（0，3）代入，得：4a=3，由此即可解決問題．
（2）求出點C坐標，利用待定系數(shù)法即可判定．
（3）求出直線BC的解析式，由MN∥OD，點M的橫坐標為a，可得M（a，$\frac{3}{4}$a²-$\frac{15}{4}$a+3）、N（a，$\frac{3}{4}$a-$\frac{3}{4}$），當點M在在CB所在直線下方時，MN=（$\frac{3}{4}$a-$\frac{3}{4}$）-（$\frac{3}{4}$a²_$\frac{15}{4}$a+3）=-$\frac{3}{4}$a²+$\frac{9}{2}$a-$\frac{15}{4}$=-$\frac{3}{4}$（a-3）²+$\frac{11}{2}$，利用二次函數(shù)的性質即可解決問題．
（4）結論：四邊形MNCF是平行四邊形．由△BEN與△BCF相似比為1：2，推出NE：FC=BE+BF=1：2，推出BE=EF=2，由F（5，0），B（1，0），推出E（3，0），推出N（3，$\frac{3}{2}$），M（3，-$\frac{3}{2}$），可得MN=3，由此即可證明．

解答 解：（1）∵拋物線與x軸的交點B（1，0），且拋物線的對稱軸為x=$\frac{5}{2}$，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（4，0），
設拋物線解析式為y=a（x-1）（x-4），
將點D（0，3）代入，得：4a=3，
解得：a=$\frac{3}{4}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{3}{4}$（x-1）（x-4）=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3；

（2）∵OA=4，OD=3，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，且AB=CD=AD=5，
則點C坐標為（5，3），
當x=5時，y=$\frac{3}{4}$×25-$\frac{15}{4}$×5+3=3，
∴點C在拋物線上；
（3）設直線BC解析式為y=kx+b，
將點B（1，0）、C（5，3）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{5k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$；
∵MN∥OD，點M的橫坐標為a，
∴M（a，$\frac{3}{4}$a²-$\frac{15}{4}$a+3）、N（a，$\frac{3}{4}$a-$\frac{3}{4}$），
當點M在在CB所在直線下方時，MN=（$\frac{3}{4}$a-$\frac{3}{4}$）-（$\frac{3}{4}$a²_$\frac{15}{4}$a+3）=-$\frac{3}{4}$a²+$\frac{9}{2}$a-$\frac{15}{4}$=-$\frac{3}{4}$（a-3）²+$\frac{11}{2}$，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴a=3時，MN有最大值，最大值為$\frac{11}{2}$，
∴b的最大值為$\frac{11}{2}$．

（4）結論：四邊形MNCF是平行四邊形．
理由：∵△BEN與△BCF相似比為1：2，
∴NE：FC=BE+BF=1：2，
∴BE=EF=2，
∵F（5，0），B（1，0），
∴E（3，0），
∴N（3，$\frac{3}{2}$），M（3，-$\frac{3}{2}$），
∴MN=3，
∵CF=3，
∴MN∥CF，MN=CF，
∴四邊形MNCF是平行四邊形，此時E（3，0）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、勾股定理、一次函數(shù)的應用、平行四邊形的性質和判定、相似三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數(shù)解決最值問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．