Question

如圖：在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AD于G．求證：（1）Rt△CBF≌Rt△ACD；
（2）AD⊥CF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）先證出CD=DB，BF=DB，得出BF=CD，再證出∠CBF=∠ACD，由BC=AC，即可證出Rt△CBF≌Rt△ACD（SAS）；
（2）由Rt△CBF≌Rt△ACD得出∠BCF=∠CAD，從而證出∠AGC=90°，得出AD⊥CF．

解答：證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=CB，∠CBA=∠CAB=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，∠BDE=45°，
又∵BF∥AC∴∠CBF=90°，∴∠BFD=∠BDE=45°，∠BFD=∠ACD=90°，
∴BF=DB，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴CD=DB，
∴BF=CD，
在Rt△CBF和Rt△ACD中，

BC=AC   ∠CBF=∠ACD   BF=CD

∴Rt△CBF≌Rt△ACD（SAS）；
（2）由（1）得Rt△CBF≌Rt△ACD，
∴∠BCF=∠CAD，
∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°，即∠AGC=90°，
∴AD⊥CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是關(guān)鍵．