Question

11．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→A→C→B的方向以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．
（1）若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘兩點(diǎn)第一次相遇？
（2）若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，且其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)．那么運(yùn)動(dòng)到第幾秒鐘時(shí)，點(diǎn)A、M、N以及△ABC的邊上一點(diǎn)D恰能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？求出時(shí)間t并請(qǐng)指出此時(shí)點(diǎn)D的具體位置．

Answer 1

分析 （1）設(shè)經(jīng)過t秒鐘兩點(diǎn)第一次相遇，然后根據(jù)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程+點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路程=AB+CA列方程求解即可；
（2）首先根據(jù)題意畫出圖形：如圖①，當(dāng)0≤t≤$\frac{8}{3}$時(shí)，MC+BN=AN+BN=8；當(dāng)$\frac{8}{3}$＜t≤4時(shí)，此時(shí)A、M、N三點(diǎn)在同一直線上，不能構(gòu)成平行四邊形；4＜t$≤\frac{16}{3}$時(shí)，MB+NC=AN+CN=8；當(dāng)$\frac{16}{3}$＜t≤8時(shí)，△BNM為等邊三角形，由BN=BM可求得t的值．

解答 解：（1）由題意得：3t+2t=16，解得：t=$\frac{16}{5}$；
（2）①當(dāng)0≤t≤$\frac{8}{3}$時(shí)，點(diǎn)M、N、D的位置如圖1所示：

∵四邊形ANDM為平行四邊形，
∴DM=AN，DM∥AN．
∴∠MDC=∠ABC=60°
∵△ABC為等腰三角形，
∴∠C=60°．
∴∠MDC=∠C．
∴MD=MC
∴MC+BN=AN+BN=8，即：3t+2t=8，t=$\frac{8}{5}$，
此時(shí)點(diǎn)D在BC上，且BD=$\frac{24}{5}$（或CD=$\frac{16}{5}$），
②當(dāng)$\frac{8}{3}$＜t≤4時(shí)，此時(shí)A、M、N三點(diǎn)在同一直線上，不能構(gòu)成平行四邊形；
③4＜t$≤\frac{16}{3}$時(shí)，點(diǎn)M、N、D的位置如圖所2示：

∵四邊形ANDM為平行四邊形，
∴DN=AM，AM∥DN．
∴∠MDB=∠ACB=60°
∵△ABC為等腰三角形，
∴∠B=60°．
∴∠MDB=∠B．
∴MD=MB．
∴MB+NC=AN+CN=8，3t-8+2t-8=8，解得：t=$\frac{24}{5}$，
此時(shí)點(diǎn)D在BC上，且BD=$\frac{32}{5}$（或CD=$\frac{8}{5}$），
④當(dāng)$\frac{16}{3}$＜t≤8時(shí)，點(diǎn)M、N、D的位置如圖所3示：

則BN=16-2t，BM=24-3t，
由題意可知：△BNM為等邊三角形，
∴BN=BM，即：2t-8=3t-16，解得t=8，此時(shí)M、N重合，不能構(gòu)成平行四邊形．
答：運(yùn)動(dòng)了$\frac{8}{5}$或$\frac{24}{5}$時(shí)，A、M、N、D四點(diǎn)能夠成平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)D在BC上，且BD=$\frac{24}{5}$或$\frac{32}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度，然后列方程求解是解題的關(guān)鍵．