Question

10．如圖，拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求當(dāng)y＞0時，x的取值范圍；
（3）在拋物線上求點M，使△MOB的面積是△AOB面積的3倍．

Answer 1

分析 （1）已知了拋物線的頂點坐標(biāo)，可將其解析式設(shè)為頂點坐標(biāo)式，然后將原點坐標(biāo)代入上式，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）求得拋物線與x軸的交點，即可求得當(dāng)y＞0時，x的取值范圍；
（3）由于△MOB和△AOB同底不等高，因此它們的面積比等于高的比，即M點的縱坐標(biāo)的絕對值是A點縱坐標(biāo)絕對值的3倍，由于A是拋物線頂點，因此點M必在x軸下方，將其縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可確定M點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意，可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1，
∵拋物線過原點，
∴a（0-2）²+1=0，a=-$\frac{1}{4}$；（2分）
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1=-$\frac{1}{4}$x²+x．

（2）令y=0，則-$\frac{1}{4}$x²+x=0，解得x₁=0，x₂=4，
∴B（4，0），
∴當(dāng)y＞0時，0＜x＜4．

（3）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S_△MOB=3S_△AOB，
∴△MOB的高是△AOB高的3倍，
即M點的縱坐標(biāo)是-3，
∴-3=-$\frac{1}{4}$x²+x，
即x²-4x-12=0，
解得x₁=6，x₂=-2，
∴滿足條件的點有兩個：M₁（6，-3），M₂（-2，-3）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)意義等知識，難度不大，能夠?qū)�圖形的面積比轉(zhuǎn)化為M點的縱坐標(biāo)是解決（3）題的關(guān)鍵．