Question

17．已知△ABC中，AB=AC．
（1）如圖1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求證：CD=BE；
（2）如圖2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS證明△ACD與△ABE全等，再利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 （1）如圖1，證明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE，
即∠DAC=∠BAE．
在△ACD與△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD=BE；
（2）連接BE，如圖2：

∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∵CD垂直平分AE，
∴∠CDA=$\frac{1}{2}$∠ADE=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=4，∠BEA=∠CDA=30°，
∴BE⊥DE，DE=AD=3，
∴BD=5；

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．