Question

12．如圖1，P（2，2），點A在x軸正半軸上運動，點B在y軸負半軸上運動，且PA=PB．
（1）求證：PA⊥PB；
（2）若點A（8，0），求點B的坐標；
（3）求OA-OB的值；
（4）如圖2，若點B在y軸正半軸上運動時，直接寫出OA+OB的值．

Answer 1

分析 （1）過點P作PE⊥x軸于E，作PF⊥y軸于F，根據(jù)點P的坐標可得PE=PF=2，然后利用“HL”證明Rt△APE和Rt△BPF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠APE=∠BPF，然后求出∠APB=∠EPF=90°，再根據(jù)垂直的定義證明；
（2）求出AE的長度，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=BF，然后求出OB，再寫出點B的坐標即可；
（3）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PE=PF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；
（4）同（3）的思路求解即可．

解答 （1）證明：如圖1，過點P作PE⊥x軸于E，作PF⊥y軸于F，
∵P（2，2），
∴PE=PF=2，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB\\;}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），
∴∠APE=∠BPF，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°，
∴PA⊥PB；
（2）解：易得四邊形OEPF是正方形，
∴OE=OF=2，
∵A（8，0），
∴OA=8，
∴AE=OA-OE=8-2=6，
∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE=BF=6，
∴OB=BF-OF=6-2=4，
∴點B的坐標為（0，-4）；
（3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE=BF，
∵AE=OA-OE=OA-2，
BF=OB+OF=OB+2，
∴OA-2=OB+2，
∴OA-OB=4；
（4）解：如圖2，過點P作PE⊥x軸于E，作PF⊥y軸于F，
同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE=BF，
∵AE=OA-OE=OA-2，
BF=OF-OB=2-OB，
∴OA-2=2-OB，
∴OA+OB=4．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判斷方法是解題的關(guān)鍵，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形．