Question

16．四邊形ABCD為矩形，G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E．

（1）如圖1，若AB=BC，BF∥DE，且交AG于點F，求證：AF=BF+EF；
（2）如圖2，在（1）的條件下，AG=$\sqrt{5}$BG，求$\frac{GC}{EC}$；
（3）如圖3，連接EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，則CE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）只要證明△AED≌△BFA即可解決問題；
（2）如圖2中，延長AG，交DC延長線于F．由△ABG≌△FCG，推出AB=FC=CD，在Rt△DEF中，C為斜邊DF的中點，推出EC=CD=CF，由此即可解決問題；
（3）過C作CM⊥DE于M，過C作CN⊥AG延長線于N，易知四邊形ENCM為矩形，只要證明四邊形ENCM為正方形，又DM=GN，設(shè)DM=GN=x，則EM=2-x，EN=1+x，根據(jù)EM=EN，可得2-x=1+x，求出x即可解決問題；

解答 （1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD為矩形，AB=BC，
∴四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，又DE⊥AG，BF∥DE，
∴∠AED=∠AFB=90°，∠DAE=∠ABF，
∴△AED≌△BFA，
∴AF=ED，AE=BF，
∴AF=BF+EF．

（2）如圖2中，延長AG，交DC延長線于F．

∵AG=$\sqrt{5}$BG，設(shè)BG=t，則AG=$\sqrt{5}$t，
在Rt△ABG中，AB=$\sqrt{A{G}^{2}-B{G}^{2}}$=2t，
∴G為BC的中點，則△ABG≌△FCG，
∴AB=FC=CD，又DE⊥AG，
在Rt△DEF中，C為斜邊DF的中點，
∴EC=CD=CF，
∴$\frac{GC}{EC}$=$\frac{GC}{BC}$=$\frac{1}{2}$．

（3）過C作CM⊥DE于M，過C作CN⊥AG延長線于N，易知四邊形ENCM為矩形，

∵∠GCD=∠NCM=90°，
∴∠MCD=∠NCG，
∵CG=CD，∠CMD=∠N=90°，
∴△CMD≌△CNG，
∴CM=CN，
∴矩形ENCM為正方形，又DM=GN，設(shè)DM=GN=x，則EM=2-x，EN=1+x，
∵EM=EN，
∴2-x=1+x，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴EM=$\frac{3}{2}$，
∴EC=$\sqrt{2}$EM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．