Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直線(xiàn)，點(diǎn)P是⊙O的直徑，點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且AP=AC．
（1）求證：PA是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若PA=

3

，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）連接OA、AD，可求得∠ACP=∠APC=30°，可證明△AOD為等邊三角形，可求得∠PAO=90°，可證明PA為⊙O的切線(xiàn)；
（2）結(jié)合（1）可得到OP=2AO，在Rt△APO中由勾股定理可求得AO，可求得直徑．

解答：（1）證明：
連接OA、AD，如圖，

∵CD為⊙O的直徑，
∴∠DAC=90°，
又∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACD=30°，
又PA=AC，OA=OD，
∴△ADO為等邊三角形，
∴∠P=30°，∠ADO=∠DAO=60°，
∴∠PAD=30°，
∴∠PAD+∠DAO=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA為⊙O的切線(xiàn)；
（2）解：
由（1）可知△APO為直角三角形，且∠P=30°，
∴PO=2AO，且PA=

3

，
由勾股定理可得PO²=AO²+PA²，可解得AO=1，
∴CD=2，即⊙O的直徑為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，掌握切線(xiàn)的證明方法是解題的關(guān)鍵，即有切點(diǎn)時(shí)連接圓心和切點(diǎn)證明垂直，沒(méi)有切點(diǎn)時(shí)，作垂直證明距離等于半徑．注意這類(lèi)問(wèn)題的常用輔助線(xiàn)的作法．