Question

17．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．
（1）求證：△ACD≌△AED；
（2）若E為AB中點(diǎn)，求∠B的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由角平分線得出∠CAD=∠EAD，再由∠DEA=∠C和公共邊，根據(jù)AAS證明△ACD≌△AED即可；
（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=DB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠EAD，因此∠CAD+∠EAD+∠B=90°，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴∠DEA=∠C，
在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠EAD}&{\;}\\{∠C=∠DEA}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（AAS）．
（2）解：∵E為AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，
∴AD=DB，
∴∠B=∠EAD，
∵∠CAD=∠EAD，
∴∠CAD=∠EAD=∠B，
∵∠CAD+∠EAD+∠B=90°，
∴∠B=30°．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．