Question

16．（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB=5，AC=3，CE平分∠ACD，求BE的長；
（2）小明完成（1）后，聯(lián)想到如下問題：已知一個角的兩邊是a和b，頂點(diǎn)在矩形圖紙外面（如圖2），請用直尺和圓規(guī)在矩形圖紙內(nèi)作出這個角的平分線．（注：直尺沒有刻度！作圖不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并對作圖中涉及的點(diǎn)用字母進(jìn)行標(biāo)注．作圖過程中如果要突破矩形圖紙限制，可適當(dāng)延伸，但不得使a、b相交．）
愛動腦筋的你一起來完成這個作圖吧！

Answer 1

分析 （1）作EM⊥AC交AC于點(diǎn)M，利用勾股定理求出BC，再利用△ACD∽△ABC，得出$\frac{EM}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$，可解得AD的值，由角平分線定理可得EM=DE，聯(lián)立可解出AE的值，利用BE=AB-AE即可求解，
（2）延長兩邊分別作兩組角的平分線，連接平分線的兩個交點(diǎn)所在的線就是這個角的平分線．

解答 解：（1）如圖1，作EM⊥AC交AC于點(diǎn)M，
 
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB=5，AC=3，
∴BC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AD}{3}$=$\frac{3}{5}$，解得AD=$\frac{9}{5}$，
∵∠ABC=∠AEM，
∴$\frac{EM}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$，即$\frac{EM}{AE}$=$\frac{4}{5}$，
∵CE平分∠ACD，CD⊥AB，EM⊥AC，
∴EM=DE，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{4}{5}$且DE+AE=$\frac{9}{5}$，解得DE=$\frac{4}{5}$，AE=1，
∴BE=AB-AE=5-1=4．
（2）如圖2，延長兩邊分別作兩組角的平分線，連接平分線的兩個交點(diǎn)所在的線就是這個角的平分線．

點(diǎn)評 本題主要考查了作圖，角平分線的性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．