Question

20．在⊙O中，弦AB=4$\sqrt{3}$cm，∠AOB=120°，則⊙O的半徑為4cm．

Answer 1

分析 過O作OC垂直于AB，根據(jù)垂徑定理可得C為AB的中點(diǎn)，由AB的長(zhǎng)求出AC的長(zhǎng)，又OA=OB，OC垂直于AB，根據(jù)三線合一得到OC為角平分線，根據(jù)∠AOB的度數(shù)求出∠AOC的度數(shù)為60°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得∠A=30°，可設(shè)OC為xcm，根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得OA=2xcm，再由AC的長(zhǎng)，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，可得出OA的長(zhǎng)，即為圓的半徑．

解答 解：過O作OC⊥AB，垂足為C，如圖所示：
∵OC⊥AB，且AB=4$\sqrt{3}$cm，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$cm，
又∵OA=OB，OC⊥AB，
∴OC為∠AOB的平分線，∠AOB=120°
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
在Rt△AOC中，∠ACO=90°，∠AOC=60°，
∴∠A=30°，
設(shè)OC=xcm，則有OA=2xcm，
根據(jù)勾股定理得：AC²+OC²=OA²，即（2$\sqrt{3}$）²+x²=4x²，
解得：x=2，或x=-2（舍去），
則半徑OA=2x=4cm．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及含30°直角三角形的性質(zhì)，利用了方程的思想，在圓中遇到弦，常常過圓心作弦的垂線，根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．