Question

17．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=-3，該拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，4），以AB為直徑的⊙M恰好經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；并求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和最值，并分析它的增減性；
（2）設(shè)⊙M與y軸的另一個交點(diǎn)為D，請?jiān)趻佄锞�的對稱軸上求作一點(diǎn)E，使得△BDE的周長最小，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）連接MC，首先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出a，b和c的三元一次方程組，求出a，b和c的值，進(jìn)而求出拋物線的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值并分析函數(shù)的增減性；
（2）連接AD，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)，求出直線AD的解析式，令x=-3，求出y的值，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）連接MC，如圖1所示，
在Rt△MCO中，
∵OC=4，OM=3，
∴由勾股定理得MC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{M}^{2}}$=5．
∴MA=MB=5，
∴A（-8，0）、B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{64a-8b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4，
∵y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x²+6x+9）+$\frac{9}{4}$+4=-$\frac{1}{4}$（x+3）²+$\frac{25}{4}$，
頂點(diǎn)坐標(biāo)（-3，$\frac{25}{4}$），
當(dāng)x=-3時，取最大值為$\frac{25}{4}$，
當(dāng)x＞-3時，y隨x的增大而減��；當(dāng)x＜-3時，y隨x的增大而增大；

（2）連接AD交拋物線的對稱軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)．
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
∵A（-8，0）、D（0，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-8k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴可求得直線AD所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{2}$x-4．
當(dāng)x=-3時，y=-$\frac{5}{2}$．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，-$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，此題涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)，解答（1）問的關(guān)鍵是點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，解答（2）問的關(guān)鍵是找出點(diǎn)P的位置，此題難度不大．