Question

4．已知AB為⊙O的直徑，AB=10，AC為弦．
（1）如圖1，弦AE平分∠CAB，AC=6，求AE的長(zhǎng)．
（2）如圖2，弦CD平分∠ACB，AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，若$\frac{AM}{BN}$=$\frac{4}{3}$，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接BE，連接BC交AE于G，根據(jù)圓周角定理和勾股定理以及角平分線的性質(zhì)證明△CAG∽△EAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到答案；
（2）連接OD，作OF⊥CD于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出AP、PB、OP的長(zhǎng)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AP}{BP}$=$\frac{4}{3}$，求出AC，得到AM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）連接BE，連接BC交AE于G，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠AEB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
∵弦AE平分∠CAB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CG}{BE}$，
∴CG=3，BG=5，
∵∠CAE=∠EAB，∠ACB=∠AEB=90°，
∴△CAG∽△EAB，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{GC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)BE=x，則AE=2x，
由勾股定理得，（2x）²+x²=100，
解得，x=2$\sqrt{5}$，
則AE=2x=4$\sqrt{5}$；
（2）連接OD，作OF⊥CD于F，設(shè)AB交CD于點(diǎn)P，
∵AM⊥CD，BN⊥CD，
∴AM∥BN，
∴$\frac{AP}{BP}$=$\frac{AM}{BN}$=$\frac{4}{3}$，又AB=10，
∴AP=$\frac{40}{7}$，BP=$\frac{30}{7}$，
則OP=$\frac{5}{7}$，
∵弦CD平分∠ACB，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AP}{BP}$=$\frac{4}{3}$，
∴AC=8，
又∵∠CAM=45°，
∴AM=4$\sqrt{2}$，
∵$\frac{OF}{AM}$=$\frac{PO}{PA}$，
∴OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴DF=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∴CD=2DF=7$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理、圓周角定理和勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵，注意相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用．