Question

17．已知：如圖，點A，B，C三點在⊙O上，AE平分∠BAC，交⊙O于點E，交BC于點D，過點E作直線l∥BC，連結BE．
（1）求證：直線l是⊙O的切線；
（2）如果DE=a，AE=b，寫出求BE的長的思路．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，連接半徑，由角平分線得：∠BAE=∠CAE，圓周角相等，則弧相等，再由垂徑定理證明OE⊥BC，所以OE⊥l，直線l與⊙O相切；
（2）根據∠BAE=∠CAE、∠CAE=∠CBE結合公共角證△ABE∽△BDE可得$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{BE}$，從而得出答案．

解答 解：（1）如圖，連接OE、OB、OC，

∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴$\widehat{BE}=\widehat{CE}$，
∴∠BOE=∠COE，
∵OB=OC，
∴OE⊥BC，
∵l∥BC，
∴OE⊥l，
∴直線l是⊙O的切線；

（2）∵∠BAE=∠CAE，∠CAE=∠CBE，
∴∠BAE=∠DBE，
又∵∠AEB=∠BED，
∴△ABE∽△BDE，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴BE²=AE•DE=ab．

點評 本題主要考查切線的判定與性質、角平分線性質、圓周角定理及相似三角形的判定與性質，熟練掌握切線的判定是關鍵：連接半徑，證明半徑與直線垂直．