Question

13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB⊥x軸于點B，AB=3，OB=4，將△OAB繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA₁B₁；再將△OA₁B₁繞著線段OB₁的中點旋轉(zhuǎn)180°，得到△OA₂B₁，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點B、B₁、A₂．

（1）求拋物線的解析式．
（2）在第三象限內(nèi)，拋物線上的點P在什么位置時，△PBB₁的面積最大？求出這時點P的坐標．
（3）在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點Q，使點Q到線段BB₁的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點B、B₁、A₂的坐標，再用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)出P點的橫坐標，其縱坐標用橫坐標表示，求出直線BB₁的解析式，過點P作y軸的平行線交BB1于點C，用P點的橫坐標表示出線段PC的長度即可用鉛垂高法表示出△PBB₁的面積，最后利用配方法求最大值；
（3）求出BB₁的長度，由于告訴了點Q到線段BB₁的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故可求出三角形QBB₁的面積，過點Q作y軸的平行線交BB₁于點D，設(shè)出Q點的坐標，用（2）中所用方法表示出三角形QBB₁的面積，建立方程，解之即可．

解答 解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△ABO≌A₁B₁O≌A₂B₁O，
∵AB=3，OB=4，
∴A（-4，3），B（-4，0），A₁（-3，-4），B₁（0，-4），A₂（3，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將B（-4，0），B₁（0，-4），A₂（3，0）代入y=ax²+bx+c可得：
$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{c=-4}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：$y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{1}{3}x-4$；
（2）如圖1，過點P作PC∥y軸交BB₁于點C，

∵B（-4，0），B₁（0，-4），
∴直線BB₁的解析式為：y=-x-4，
設(shè)P（m，$\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{3}m-4$），則C（m，-m-4），
∴${S}_{△P{B}_{1}B}=\frac{1}{2}×（{x}_{{B}_{1}}-{x}_{B}）×（{y}_{C}-{y}_{P}）$=$\frac{1}{2}×4×（-m-4-\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{1}{3}m+4）$=$-\frac{2}{3}（m+2）^{2}+\frac{8}{3}$，
∴當m=-2時，△PBB₁的面積最大，
此時，P點的坐標為（-2，$-\frac{10}{3}$）；
（3）如圖2，過點Q作QD∥y軸交BB₁于點D，

設(shè)Q（n，$\frac{1}{3}{n}^{2}+\frac{1}{3}n-4$），則D（n，-n-4），
∵B（-4，0），B₁（0，-4），
∴$B{B}_{1}=4\sqrt{2}$，
∵點Q到線段BB₁的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${S}_{△QB{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
∵${S}_{△QB{B}_{1}}=\frac{1}{2}×（{x}_{{B}_{1}}-{x}_{B}）×（{y}_{D}-{y}_{Q}）$=$\frac{1}{2}×4×（-n-4-\frac{1}{3}{n}^{2}-\frac{1}{3}n+4）$=$-\frac{2}{3}{n}^{2}-\frac{4}{3}n$，
∴$-\frac{2}{3}{n}^{2}-\frac{4}{3}n=2$，
解得：n=-3或n=1（舍去），
此時Q點的坐標為（-3，-2）；

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形面積的坐標表示、配方法求二次函數(shù)最值，等積變換等多個知識點，有一定綜合性，難度適中．第（2）問和第（3）問本質(zhì)上是一樣的，關(guān)鍵是用動點的橫坐標將三角形面積表示出來．