Question

8．如圖，等腰Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD，EB⊥BC，Rt△EDF中，∠EDF=90°，B、C、F在一條直線上，
（1）若ED=4，求S_△EDF．
（2）若∠2=2∠1，求證：HF=HE+HD．

Answer 1

分析 （1）在正方形ABCD中，由FD與DE垂直，利用等式的性質(zhì)得到一對角相等，再由一對直角相等，且AD=DC，利用AAS得到三角形DAE與三角形DCF全等，利用全等三角形對應邊相等得到AE=CF，進而求得結(jié)論；
（2）在HF上取一點P，使FP=EH，連接DP，利用SAS得到三角形DEH與三角形DFP全等，利用全等三角形對應邊相等，對應角相等得到DH=DP，∠EDH=∠FDP，進而確定出三角形DHP為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)即可得證．

解答 （1）解：過D作DA⊥BE交BE的延長線于A，
則四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADE=90°-∠EDC=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAE≌Rt△DCF（AAS），
∴AE=CF，DE=DF，
∴S_△EDF=$\frac{1}{2}$DE•DF=$\frac{1}{2}×$4×4=8；

（2）證明：在HF上取一點P，使FP=EH，連接DP，
由（1）Rt△DAE≌Rt△DCF得△EDF是等腰直角三角形，
∴DE=DF，∠DEF=∠DFE=45°，
∴△DEH≌△DFP（SAS），
∴DH=DP，∠EDH=∠FDP，
在△DHE和△FHB中，
∵∠DEF=∠HBF=45°，∠EHD=∠BHF（對頂角），
∴∠EDH=∠1=$\frac{1}{2}$∠ADE=$\frac{1}{2}$（45°-∠EDH），
∴∠EDH=15°，∠FDP=15°，
∴∠HDP=90°-15°-15°=60°，
∴△DHP是等邊三角形，
∴HD=HP，HF=HE+HD．

點評 此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．