Question

2．M為雙曲線y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$上的一點，過點M作x軸、y軸的垂線，分別交直線y=-x+m于點D、C兩點，若直線y=-x+m與y軸交于點A，與x軸相交于點B．
（1）求AD•BC的值．
（2）若直線y=-x+m平移后與雙曲線y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$交于P、Q兩點，且PQ=3$\sqrt{2}$，求平移后m的值．
（3）若點M在第一象限的雙曲線上運動，試說明△MPQ的面積是否存在最大值？如果存在，求出最大面積和M的坐標(biāo)；如果不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）過C作CE⊥x軸于E，過D作DF⊥y軸于F，如圖1，求得A（0，m）；B（m，0）．求得△ABO為等腰直角三角形推出△ADF和△BCE也是等腰直角三角形設(shè)M（a，b），則ab=$\sqrt{3}$，CE=b，DF=a解直角三角形即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{x}}\end{array}\right.$，整理得：x²-mx+$\sqrt{3}$=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：m²-4$\sqrt{3}$=9，解得：m=±$\sqrt{9+4\sqrt{3}}$；
（3）由上述結(jié)論知x₁=y₂，x₂=y₁，且AO=BO=y₁+y₂=x₁+x₂=m    ①，
由于x₁x₂=$\sqrt{3}$   ②，得到P，Q兩點的坐標(biāo)，得到PQ=$\sqrt{2}$$\sqrt{{m}^{2}-4\sqrt{3}}$，根據(jù)S_△MPQ=$\frac{1}{2}$PQ•h，得到PQ為定值，于是得到PQ邊上的高有最大值時，即存在面積的最大值，當(dāng)m無限向x軸右側(cè)運動時，（或向y軸的上方運動時）h的值無限增大，于是得到不存在最大的h，即△MPQ的面積不存在最大值．

解答 解：（1）過C作CE⊥x軸于E，過D作DF⊥y軸于F，如圖1，
當(dāng)x=0時，y=m，
∴A（0，m）；
當(dāng)y=0時，x=m，
∴B（m，0）．
∴△ABO為等腰直角三角形
∴∠OAB=∠OBA=45°
∴△ADF和△BCE也是等腰直角三角形
設(shè)M（a，b），則ab=$\sqrt{3}$，CE=b，DF=a
∴AD=$\sqrt{2}$DF=$\sqrt{2}$a，BC=$\sqrt{2}$CE=$\sqrt{2}$b
∴AD•BC=$\sqrt{2}$a•$\sqrt{2}$b=2ab=2$\sqrt{3}$．
（2）將y=-x+m代入雙曲線y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，整理得：x²-mx+$\sqrt{3}$=0，
設(shè)x₁、x₂是方程x²-mx+$\sqrt{3}$=0的兩個根（x₁＜x₂），
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=$\sqrt{3}$．
∵PQ=3$\sqrt{2}$，直線的解析式為y=-x+m，
∴x₂-x₁=3=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}-4\sqrt{3}}$，
解得：m=±$\sqrt{9+4\sqrt{3}}$；
（3）由上述結(jié)論知x₁=y₂，x₂=y₁，且AO=BO=y₁+y₂=x₁+x₂=m    ①，
∵x₁x₂=$\sqrt{3}$   ②，
∴P，Q兩點的坐標(biāo)可表示為P（x₁，x₂），Q（x₂，x₁），
∴PQ=$\sqrt{2}$（x₂-x₁），
∵（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=m²-4$\sqrt{3}$，
∴PQ=$\sqrt{2}$$\sqrt{{m}^{2}-4\sqrt{3}}$，
∵S_△MPQ=$\frac{1}{2}$PQ•h，∵PQ為定值，
∴PQ邊上的高有最大值時，即存在面積的最大值，
當(dāng)m無限向x軸右側(cè)運動時，（或向y軸的上方運動時）h的值無限增大，
∴不存在最大的h，即△MPQ的面積不存在最大值．

點評 本題主要考查了正方形、直角三角形以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握反比例函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．