Question

7．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于點O．DE⊥AB于點E．連接OE．
（1）求證：∠OED=∠ACD；
（2）若AC=8，DB=6，求DH的長．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是菱形，DE⊥AB，易得點A，E，O，D共圓，然后由圓周角定理，證得∠OED=∠CAD，繼而證得∠OED=∠ACD；
（2）由AC=8，DB=6，利用菱形的面積，可求得DE的長，然后由△AEH∽△AOB，求得EH的長，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=CD，
∴∠DAC=∠ACD，
∵DE⊥AB，
∴∠AOD=∠AED=90°，
∴點A，E，O，D共圓，
∵∠OED=∠CAD，
∴∠OED=∠ACD；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=$\frac{1}{2}$DB=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∵S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=AB•DE，
∴DE=$\frac{\frac{1}{2}AC•BD}{AB}$=$\frac{24}{5}$；
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∵∠AEH=∠AOB=90°，∠EAH=∠OAB，
∴△AEH∽△AOB，
∴AE：AO=EH：OB，
∴$\frac{7}{5}$：4=EH：3，
解得：EH=$\frac{21}{20}$，
∴DH=DE-EH=$\frac{15}{4}$．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意證得點A，E，O，D共圓與△AEH∽△AOB是解此題的關鍵．