Question

如圖，已知二次函數(shù)圖象y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且A（-1，0），C（0，3）
（1）求這個(gè)二次函數(shù)解析式以及B的坐標(biāo)；
（2）在（1）中拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△BCQ成為以BC為直角邊的直角三角形？若有求出Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A（-1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)代入拋物線解析式可得b，c的值，令y=0，可得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在（1）中拋物線上存在點(diǎn)Q，使△BCQ成為以BC為直角邊的直角三角形，有兩種可能：B為直角頂點(diǎn)、C為直角頂點(diǎn)，要充分認(rèn)識(shí)△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通過(guò)解直角三角形求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）把A（-1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)代入拋物線解析式y(tǒng)=-x²+bx+c中得：

-1-b+c=0 c=3

，
解得：

b=2 c=3

，
所以拋物線解析式為：y=-x²+2x+3，
令y=0，
即0=-x²+2x+3，
所以x=-1或3，
即B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）；
（2）在（1）中拋物線上存在點(diǎn)Q，使△BCQ成為以BC為直角邊的直角三角形，
理由如下：有兩種情況：
如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BQ₁⊥BC，交拋物線于點(diǎn)Q₁、交y軸于點(diǎn)F，連接Q₁C．
∵CO=BO=3，
∴∠CBO=45°，
∴∠FBO=45°，BO=OF=3．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-3）．
將（0，-3），（3，0）代入y=kx+b得：

b=-3 3k+b=0

，
解

k=1 b=-3

，
∴直線BE的解析式為y=x-3，
由

y=x-3 y=-x2+2x+3

，
解得

x=-2 y=-5

或

x=3 y=0

，
∴點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（-2，-5）．
如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CB，交拋物線于點(diǎn)Q₂、交x軸于點(diǎn)F，連接BQ₂．
∵∠CBO=45°，
∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3，0）．
∴直線CF的解析式為y=x+3．
由

y=x+3 y=-x2+2x+3

解得：

x=0 y=3

或

x=1 y=4

，
∴點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為（1，4）．
綜上，在拋物線上存在點(diǎn)Q₁（-2，-5）、Q₂（1，4），使△BCQ₁、△BCQ₂是以BC為直角邊的直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及待定系數(shù)法求直線的解析式和等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用直線解析式組成方程組求出Q的坐標(biāo)，題目的難點(diǎn)在于（3）小題中，用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏．