Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線W的解斬式為y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，拋物線W與x軸交于A，B兩點（點B在A的右側(cè)），與y軸交于點C，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點B并且與y軸交于點D（0，3），與拋物線的另一個交點為E．
（1）求B、C兩點的坐標及一次函數(shù)的解析式；
（2）若P為拋物線的對稱軸上一動點，當△BCP的周長最小時，求點P的坐標；
（3）若點M是直線BE上一動點，過．M作MN∥y軸交拋物線于點N，判斷是否存在點M，使以點M，N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M所有可能的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線解析式可求得A、B、C的坐標，再利用待定系數(shù)法可求得一次函數(shù)的解析式；
（2）由A、B關(guān)于對稱軸對稱，則連接AC與對稱軸的交點即為所求的點P，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式，則可求得P點坐標；
（3）由MN∥CD可知MN為平行四邊形的邊，設M（x，-$\frac{1}{2}$x²-x+4），則可表示出N點坐標，從而可用t表示出MN，利用平行四邊形的性質(zhì)可得MN=CD，可得到關(guān)于x的方程，可求得M點的坐標．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4中，令y=0可得0=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，解得x=2或x=-4，
令x=0可得y=4，
∴A（-4，0），B（2，0），C（0，4），
∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點B并且與y軸交于點D（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1.5}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)解析式為y=-1.5x+3；
（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+3.5，
∴拋物線對稱軸為x=-1，
如圖1，連接AC交對稱軸于點P，

∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，
∴PA=PB，
∵A、P、C三點在一條線上，
∴BP+PC最小，
∴此時△PCB的周長最小，
∵A（-4，0），C（0，4），
∴直線AC解析式為y=x+4，
當x=-1時，y=-1+4=3，
∴P（-1，3）；
（3）∵點M是直線BE上一動點，
∴可設M（x，-1.5x+3），
∵MN∥y軸交拋物線于點N，
∴N（x，-$\frac{1}{2}$x²-x+4），
∴MN=|-1.5x+3-（-$\frac{1}{2}$x²-x+4）|=|0.5x²-0.5x-1|
∵C（0，4），D（0，3），
∴CD=1，
∵MN∥CD，
∴當以點M，N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形時，則有MN=CD，
∴|0.5x²-0.5x-1|=1，即0.5x²-0.5x-1=1或0.5x²-0.5x-1=-1，
當0.5x²-0.5x-1=1時，解得x=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，此時M點的坐標為（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9+3\sqrt{17}}{4}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9-3\sqrt{17}}{4}$），
當0.5x²-0.5x-1=-1時，解得x=0（M與D重合，舍去）或x=1，此時M點坐標為（1，1.5），
綜上可知存在滿足條件的M點，坐標為（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9+3\sqrt{17}}{4}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9-3\sqrt{17}}{4}$）或（1，1.5）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、軸對稱的應用、平行四這形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識點．在（1）中注意函數(shù)圖象與坐標軸交點的求法，在（2）中確定出P點的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用平行四邊形的性質(zhì)得到關(guān)于M點坐標的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．