Question

【題目】如圖，在中，，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合）．

（1）為何值時(shí)，最短，求出此時(shí)的最小值；

（2）為何值時(shí)，，說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)的一個(gè)頂點(diǎn)與其內(nèi)心、外心在同一條直線時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）時(shí)，，理由見(jiàn)解析；（3），8，

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)最短，根據(jù)勾股定理求解即可；

（2）當(dāng)時(shí)，，所以，再根據(jù)已知條件即可判斷；

（3）根據(jù)AB邊固定可以分三種情況進(jìn)行討論；

解：（1）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)最短．

在中，

∴，

此時(shí)

（2）當(dāng)時(shí)，，

理由：當(dāng)時(shí)，，所以，

又∵，，

∴

（3）當(dāng)點(diǎn)A與內(nèi)心、外心重合，△APB是等腰三角形，C為底邊的中點(diǎn)，

∵，，，

∴，

∴BP=2BC=；

當(dāng)P點(diǎn)與內(nèi)心、外心重合，△APB是以AB、BP為腰的等腰三角形，

∵AB=8，

∴BP=8；

當(dāng)點(diǎn)B與內(nèi)心、外心重合，如圖所示，△APB是以為鈍角的三角形，且AP=PB，作，

則，

∴，

∵BF=4，AB=8，，

∴，

∴BP= ；

故BP的值為，8，．