Question

2．如圖，在△ABC中，點D為BC邊的任意一點，以點D為頂點的∠EDF的兩邊分別與邊AB，AC交于點E、F，且∠EDF與∠A互補．
（1）如圖1，若AB=AC，D為BC的中點時，則線段DE與DF有何數量關系？請直接寫出結論；
（2）如圖2，若AB=kAC，D為BC的中點時，那么（1）中的結論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出DE與DF的關系并說明理由；
（3）如圖3，若$\frac{AB}{AC}$=a，且$\frac{BD}{CD}$=b，直接寫出$\frac{DE}{DF}$=$\frac{a}$．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，則∠EMD=∠FND=90°，只要證明△DEM≌△DFN即可．
（2）結論DE：DF=1：k．如圖2，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，則∠EMD=∠FND=90°，由$\frac{1}{2}$•AB•DM=$\frac{1}{2}$•AC•DN，AB=kAC，推出DN=kDM，再證明
△DME∽△DNF，即可．
（3）結論DE：DF=1：k．如圖3，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，同（2）可證∠EDM=∠FDN，由$\frac{1}{2}$•AB•DM：$\frac{1}{2}$•AC•DN=b，AB：AC=a，推出DM：DN=$\frac{a}$，再證明△DEM∽△DFN即可．

解答 解：（1）結論：DF=DE，
理由：如圖1，連接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，則∠EMD=∠FND=90°，


∵AB=AC，點D為BC中點，
∴AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∵在四邊形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，
∴∠MAN+∠MDN=180°，
又∵∠EDF與∠MAN互補，
∴∠MDN=∠EDF，
∴∠EDM=∠FDN，
在△DEM與△DFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠DNF}\\{∠EDM=∠FDN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△DFN，
∴DE=DF．

（2）結論DE：DF=1：k．
理由：如圖2，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，則∠EMD=∠FND=90°，

∵BD=DC，
∴S_△ABD=S_△ADC，
∴$\frac{1}{2}$•AB•DM=$\frac{1}{2}$•AC•DN，∵AB=kAC，
∴DN=kDM，
由（2）可知，∠EDM=∠FDN，∠DEM=∠DFN=90°，
∴△DME∽△DNF，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{1}{k}$．

（3）結論：$\frac{DE}{DF}$=$\frac{a}$．
理由：如圖3，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，同（2）可證∠EDM=∠FDN，

又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△DEM∽△DFN，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DM}{DN}$，
∵$\frac{BD}{CD}$=b，
∴S_△ABD：S_△ADC=b，
∴$\frac{1}{2}$•AB•DM：$\frac{1}{2}$•AC•DN=b，∵AB：AC=a，
∴DM：DN=$\frac{a}$，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{a}$．
故答案為$\frac{a}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、三角形的面積、奇偶分析的性質定理等知識解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會理由面積法證明線段之間的關系，屬于中考常考題型．