Question

如圖，在邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、AC上的點(diǎn)，AD=BE=CF=1．
（1）求證：△DEF是等邊三角形；
（2）猜想DE與BC的位置關(guān)系，并加以驗(yàn)證．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)等邊△ABC中AD=BE=CF，證得△ADF≌△BED≌△CFE即可得出：△DEF是等邊三角形；
（2）假設(shè)△BDE是直角三角形，令∠BED是直角，則BE²+DE²=BD²，根據(jù)勾股定理列方程，解答出即可．

解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，
在△ADF和△BED和△CFE中，

AD=BE=CF ∠A=∠B=∠C AF=BD=CE

，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一個(gè)等邊三角形．
（2）如果△BDE是直角三角形，令∠BED是直角，根據(jù)勾股定理的逆定理得：BE²+DE²=BD²，設(shè)BD=x，
則（

3

2

x）²+（3-x）²=x²，
解得，x₁=6（舍去），x₂=2；
所以BD=BC-AD=2時(shí)，△BDE是直角三角形．
即DE⊥BC．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形判定，以及勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解題關(guān)鍵．