Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，過A作AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于E，過E作EF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于F，且AC=BF，BE=2AE．
（1）若EF=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$，F(xiàn)B=$\frac{8}{5}\sqrt{5}$，AE=2，求四邊形AEFB的面積；
（2）求證：BE平分∠ABC．

Answer 1

分析 （1）由三角形的面積和求得四邊形的面積．
（2）延長(zhǎng)AE交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=BE，證得BE垂直平分AG，再由等腰三角形的性質(zhì)三線合一得到結(jié)果．

解答 解：（1）∵BE=2AE，AE=2，
∴BE=4，
∴S_{四邊形AEFB}=S_△AEB+S_△FBE=$\frac{1}{2}$×2×4$+\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=$\frac{36}{5}$；

（2）延長(zhǎng)AE交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵AE⊥BE，AC⊥BC，∠ADE=∠BDC，
∴∠EAD=∠DBC，
在△AGC與△BEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠BFE}\\{∠GAC=∠EBF}\\{AC=BF}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△BEF，
∴AG=BE，
∵BE=2AE，
∴AG=2AE，
∴BE垂直平分AG，
∴AB=BG，
∴BE平分∠ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂直的定義，三角形的面積的求法，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．