Question

已知二次函數(shù)y=mx²-（m-1）x-1．
（1）求證：這個二次函數(shù)的圖象一定與x軸有交點；
（2）若這個二次函數(shù)有最大值0，求m的值；
（3）我們定義：若二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸正半軸的兩個交點的橫坐標(biāo)x₁、x₂（x₁＞x₂），滿足2＜

x1

x2

＜3，則稱這個二次函數(shù)與x軸有兩個“夢想交點”．如果二次函數(shù)y=mx²-（m-1）x-1與x軸有兩個“夢想交點”，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由根的判別式就可以得出△的值就可以得出結(jié)論；
（2）將二次函數(shù)化為頂點式y(tǒng)=m（x-

m-1

2m

）²-

(m-1)2

4m2

-1，求出頂點坐標(biāo)，由

m-1

2m

=0建立方程求出其解即可；
（3）當(dāng)y=0時表示出x的值，用代數(shù)式表示出x₁、x₂，再由2＜

x1

x2

＜3建立不等式組就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵y=mx²-（m-1）x-1．
∴當(dāng)y=0時，mx²-（m-1）x-1=0．
∴a=m，b=-（m-1），c=-1，
∴△=[-（m-1）]²-4m（-1）=m²-2m+1+4m，
∴△=（m+1）²≥0，
∴這個二次函數(shù)的圖象一定與x軸有交點；
（2）∵y=mx²-（m-1）x-1，
∴y=m（x-

m-1

2m

）²-

(m-1)2

4m2

×m-1，
∴x=

m-1

2m

時，y的最大值為-

(m-1)2

4m2

×m-1．
∵這個二次函數(shù)有最大值為0，
∴-

(m-1)2

4m2

×m-1=0．
解得：m=-1．
答：二次函數(shù)有最大值為0時，m的值為-1；
（3）∵y=mx²-（m-1）x-1，
∴當(dāng)y=0時，
mx²-（m-1）x-1=0，
∴x=

m-1±|m+1|

2m

，
∴x₁=

m-1-|m+1|

2m

，
x₂=

m-1+|m+1|

2m

，
∴

x1

x2

=

m-1-|m+1|

m-1+|m+1|

．
∵2＜

x1

x2

＜3，
∴2＜

m-1-|m+1|

m-1+|m+1|

＜3，
當(dāng)m+1＞0，及m＞-1時，
解得：-

1

2

＜m＜-

1

3

．
當(dāng)m+1＜0，及m＜-1時，
解得：-3＜m＜-2．
綜上所述，m的取值范圍為：-

1

2

＜m＜-

1

3

或-3＜m＜-2．

點評：本題考查了根的判別式的運用，二次函數(shù)的頂點式的運用，一元二次方程的求根公式的運用，一元一次不等式組的解法的運用，解答時靈活運用求根公式是關(guān)鍵．