Question

如圖，點A在y軸上，點B在x軸上，以AB為邊作正方形ABCD，P為正方形ABCD的對稱中心，正方形ABCD的邊長為

10

，tan∠ABO=3．直線OP交AB于N，DC于M，點H從原點O出發(fā)沿x軸的正半軸方向以1個單位每秒速度運動，同時，點R從原點O出發(fā)沿OM方向以

2

個單位每秒速度運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）分別寫出A，C，P三點的坐標；
（2）經(jīng)過坐標原點O且頂點為P的拋物線是否經(jīng)過C點，請說明理由？
（3）當t為何值時，△ANO與△DMR相似？
（4）設(shè)△HCR面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；并求以A、B、C、R為頂點的四邊形是梯形時t的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過點D作DF⊥y軸于點F，作CE⊥x軸于點E，連接AC，由tan∠ABO=3可知OA：OB=3，設(shè)OA=3x，則OB=x，再根據(jù)正方形ABCD的邊長為

10

利用勾股定理可求出OA及OB的長，由全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△BEC≌△DFA，故可得出CD的坐標，利用中點坐標公式即可得出P點坐標；
（2）設(shè)經(jīng)過坐標原點O且頂點為P的拋物線是y=a（x-h）²+k，由（1）可知C點的坐標，把其坐標代入拋物線的解析式檢驗即可；
（3）過點N作NE⊥AO，于點E，過點A作AF⊥MS于點F，MS⊥x軸于點S，求出M、N兩點坐標，再分∠DRM=45°和∠MDR=45°兩種情況進行討論；
（4）由R速度為

2

，H速度為1，且∠ROH=45°，可知tan∠ROH=1，故RH始終垂直于x軸，RH=OH=t，設(shè)△HCR的邊RH的高為h，h=|4-t|，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；分情況進行討論，頂邊和底邊分別為BC、AR，此時BC∥AR，結(jié)合已知和已證求出R點的坐標，求出t即可；頂邊、底邊分別為CR、AB，此時CR∥AB，結(jié)合已知和已證求出R點的坐標，求出t即可．

解答：解：（1）如圖1，過點D作DF⊥y軸于點F，作CE⊥x軸于點E，連接AC，
∵tan∠ABO=3，
∴OA：OB=3，
∴設(shè)OA=3x，則OB=x，
∵正方形ABCD的邊長為

10

，
∴△AOB中，OA²+OB²=AB²，即9x²+x²=（

10

）²，
解得x=1，
∴OA=3，OB=1，
∴A（0，3），
∵∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠OAB=∠CBE，∠ABO=∠BCE，
在△AOB與△BEC中，

∠OAB=∠CBE AB=BC ∠ABO=∠BCE

，
∴△AOB≌△BEC（SAS），
同理可得，△AOB≌△BEC≌△DFA，
∴BE=DE=3，CE=AF=1，
∴C（4，1），D（3，4），
∵P為正方形ABCD的對稱中心，
∴P是AC的中點，
∴P（

0+4

2

，

3+1

2

），即（2，2），
故A（0，3），C（4，1）P（2，2）；
（2）經(jīng)過坐標原點O且頂點為P的拋物線不過C點，
理由如下：
設(shè)經(jīng)過坐標原點O且頂點為P的拋物線是y=a（x-h）²+k，
∵P（2，2），
∴y=a（x-2）²+2，
∴0=a（0-2）²+2，
解得：a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x-2）²+2，
∵C（4，1），
∴當x=4時，y=0≠1，
∴經(jīng)過坐標原點O且頂點為P的拋物線不經(jīng)過C點；
（3）
如圖2，過點N作NE⊥AO于點E，過點A作AF⊥MS于點F，MS⊥x軸于點S，
由（1）可得：B（1，0），
∴直線AB的解析式為：y=-3x+3①；
直線OP的解析式為：y=x②，
①②聯(lián)立得

y=-3x+3 y=x

，
解得

x= 3 4 y= 3 4

，
直線CD的解析式是：y=-3x+13，
解方程組：

y=-3x+13 y=x

，
解得

x= 13 4 y= 13 4

得：則M的坐標是：（

13

4

，

13

4

），
∴ON=

3 2

4

，OM=

13 2

4

，
∵AD²+DM²=AF²+MF²，即10+MD²=（

13

4

）²+（

1

4

）²，
∴DM=

10

4

，AN=

3 10

4

，
當∠MDR=45°時，
∵∠AON=45°，
∴∠MDR=∠AON，
∵AN∥DM，
∴∠ANO=∠DMP，
∴△ANO與△DMR相似，則△ANO∽△RMD，
∴

MR

DM

=

AN

NO

，即

MR

10 4

=

3 10 4

3 2 4

，解得MR=

5 2

4

，
則OR=OM-MR=2

2

，
故t=2，
同理可得：當∠DRM=45°時，t=3，△ANO與△DMR相似，
綜上可知：t=2或3時當△ANO與△DMR相似；

（4）∵R速度為

10

，H速度為1，且∠ROH=45°，
∴tan∠ROH=1，
∴RH始終垂直于x軸，
∴RH=OH=t，
設(shè)△HCR的邊RH的高為h，
∴h=|4-t|．
∴S_△HCR=h•t•

1

2

=|-t²+4t|•

1

2

，
∴S=

1

2

-t²+2t（0＜t＜4）
或S=t²-2t（t＞4）；
故S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）或S=

1

2

t²-2t（t＞4）；
以A、B、C、R為頂點的梯形，有三種可能：
①頂邊和底邊分別為BC、AR，此時BC∥AR．如圖3，延長AD，使其與OM相交于點R，
則AD的斜率=tan∠BAO=

1

3

則直線AD為：y=

x

3

+3．
則R坐標為（4.5，4.5），
則此時四邊形ABCR為直角梯形，
則t=4.5；
②頂邊、底邊分別為CR、AB，此時CR∥AB，且R與M重合．
則CD的斜率=-3，且直線CD過點C，
則直線CD為：y-1=-3•（x-4），
則y=-3x+13，
∵OM與CD交于點M（即R），
∴M為（

13

4

，

13

4

）
∴此時四邊形ABCR為梯形，
∴t=

13

4

，
③求AC，BR的解析式，進而求出R坐標（

1

3

，

1

3

）求出t=

1

3

．
綜上所述，t=4.5或t=

13

4

或t=

1

3

．

點評：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，正方形的性質(zhì)及梯形的判定定理，解答此題時要注意分類討論，不要漏解．