Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，直線y=kx（k＞0）與雙曲線y=$\frac{3}{x}（x＞0），y=\frac{6}{x}$（x＞0）分別交于A，B兩點，則$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線y=kx（k＞0）先設出A、B兩點的坐標，作輔助線構(gòu)建兩個直角三角形，利用平行相似得比例式得出$\frac{OB}{OA}$等于A、B兩點的縱坐標之比，由雙曲線y=$\frac{3}{x}（x＞0），y=\frac{6}{x}$（x＞0）計算出結(jié)論．

解答 解：設A（a，ka）、B（b，kb），
分別過點A、B向x軸作垂線，垂足分別為C、D，
則AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{BD}{AC}$=$\frac{kb}{ka}$=$\frac{a}$，
∵點A在雙曲線y=$\frac{3}{x}$上，
∴ka²=3，k=$\frac{3}{{a}^{2}}$，
∵點B在雙曲線y=$\frac{6}{x}$上，
∴kb²=6，k=$\frac{6}{^{2}}$，
∴$\frac{3}{{a}^{2}}=\frac{6}{^{2}}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2，
∵A、B在第一象限，則a＞0，b＞0，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，解此類題的思路為：先根據(jù)一個函數(shù)表示出交點的坐標，再利用另一個函數(shù)列方程或比例式求解，綜合性較強．此題還通過作坐標軸的垂線構(gòu)建相似三角形或全等三角形，利用它們的性質(zhì)列式計算．