Question

10．類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
（1）如圖1，在四邊形ABCD中添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請寫出你添加的一個條件．
（2）問題探究
小紅提出了一個猜想：對角線互相平分且相等的“等鄰邊四邊形”是正方形．她的猜想正確嗎？請說明理由．
（3）如圖2，“等鄰邊四邊形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD為對角線，$AC=\sqrt{2}AB$．試探究線段BC，CD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用“等鄰邊四邊形”的定義添加條件即可．
（2）用矩形和菱形的判定，先判斷出四邊形既是矩形，又是菱形，從而得到它是正方形；
（3）先判斷出△ACF∽△ABD，得到$CF=\sqrt{2}BD$，再求出∠CBF=90°，最后用勾股定理即可求解．

解答 解：（1）AB=BC，
理由：∵四邊形ABCD是凸四邊形，且AB=BC，
∴四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．
（2）①正確；理由為：
∵四邊形的對角線互相平分且相等，
∴四邊形ABCD是矩形
∵四邊形是“等鄰邊四邊形”，
∴這個四邊形有一組鄰邊相等，
∴四邊形ABCD是菱形
∴對角線互相平分且相等的等鄰邊四邊形是正方形，
（3）BC²+CD²=2BD²
證明：如圖，

∵AB=AD，
∴將△ADC線繞點A旋轉(zhuǎn)到△ABF，連接CF，則△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，F(xiàn)B=CD，
∴∠BAD=∠CAF，$\frac{AC}{AD}=\frac{AF}{AB}$，
∴△ACF∽△ABD，
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{AC}{AB}$，
∵$AC=\sqrt{2}AB$，
∴$CF=\sqrt{2}BD$，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（∠BAD+∠BCD）=360°-90°=270°
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴$B{C^2}+F{B^2}=C{F^2}={（{\sqrt{2}BD}）^2}=2B{D^2}$
∴BC²+CD²=2BD²．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了新定義的理解，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線分別判斷出三角形相似和全等．