Question

10．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與△ABC的外角平分線交于點O，過O作BC的平行線交AB于E，交AC于F．
（1）圖中共有幾個等腰三角形，請選擇其中一個加以證明；
（2）請問線段EF與BE、CF之間存在什么數(shù)量關(guān)系．試說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)進行角之間的等量代換，根據(jù)等邊對等角，發(fā)現(xiàn)兩個等腰三角形：△BOE和△COF，即可得出所求的結(jié)論；
（2）根據(jù)∠ABC和∠ACG的平分線相交于點O，過點O作BC的平行線交AB于點E，可證∠EOB=∠EBO，可得BE=EO，OF=FC，于是得到結(jié)論．

解答 （1）答：圖中共有△BOE和△COF2個等腰三角形；
證明：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC．
又∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，
∴BE=EO，
∴△BOE是等腰三角形．

（2）解：EF=BE-CF．
理由：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC．
又∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，
∴BE=EO，
同理可證：CF=FO，
∵EF=EO-FO，
∴EF=BE-CF．

點評 此題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．