Question

4．如圖，AC=4，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)C且與AC的夾角為60°，則直線l上有點(diǎn)P，使得∠APB=30°，則PC的長(zhǎng)為4或2．

Answer 1

分析 過點(diǎn)B作AC的垂線交直線l于點(diǎn)P，作AP′⊥直線l于點(diǎn)P′，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：過點(diǎn)B作AC的垂線交直線l于點(diǎn)P，
則直線PB是線段AC的垂直平分線，
∴PA=PC，又直線l過點(diǎn)C且與AC的夾角為60°，
∴△PAC是等邊三角形，
∵AB=BC，
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠APC=30°，
∴PC=PA=2AB=4，
作AP′⊥直線l于點(diǎn)P′，
∵AB=BC，
∴P′B=BC，又直線l過點(diǎn)C且與AC的夾角為60°，
∴△P′BC是等邊三角形，
∴P′C=BC=2，
故答案為：4或2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意分情況討論思想的應(yīng)用．