Question

13．（1）如圖1，已知△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，4）、B（4，1）、C（4，4），若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與△ABC有公共點，則k的取值范圍是4≤k≤16；
（2）把圖1中的△ABC沿直線AB翻折后得到△ABC₁，若雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）與△ABC₁有公共點，求m的取值范圍；
小明借助一元二次方程根的判斷式圓滿地解決了這個問題，小芳借助二次函數模型也圓滿地解決了這個問題．請你先在圖2中畫出△ABC₁，再寫出自己的解答過程．
（3）如圖3，已知點A為（1，2），點B為（4，1），若雙曲線y=$\frac{n}{x}$（x＞0）與線段AB有公共點，則n的取值范圍是2≤n≤$\frac{49}{12}$．

Answer 1

分析 （1）分別求得雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與邊AC，邊BC有公共點的k的取值范圍，然后求得直線AB的解析式，利用一元二次方程根的判別式求得與邊AB有公共點的k的取值范圍，則可求得答案；
（2）首先求得點C的坐標，即可得雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）與邊AC，邊BC有公共點的k的取值范圍，由（1）可求得與邊AB的取值范圍，繼而求得答案；
（3）首先求得線段AB的解析式以及自變量的取值范圍，再利用一元二次方程根的判別式求得答案．

解答 解：（1）設直線AB的解析式為：y=kx+b，
∵A（1，4）、B（4，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-x+5，
∵△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，4）、B（4，1）、C（4，4），
∴若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與邊AC有公共點，則4≤k≤16，
若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與邊BC有公共點，則4≤k≤16，
若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與邊AB有公共點，則$\frac{k}{x}$=-x+5（1≤x≤4），
即x²-5x+k=0，
∴△=25-4k≥0，
解得：k≤$\frac{25}{4}$，
∴若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與邊AB有公共點，則4≤k≤$\frac{25}{4}$；
綜上可得：若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與△ABC有公共點，則k的取值范圍是：4≤k≤16；
故答案為：4≤k≤16；

（2）如圖，則點C₁（1，1），
由（1）得：若雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）與邊AB有公共點，則4≤m≤$\frac{25}{4}$，
∵若雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）與邊AC有公共點，則1≤k≤4，
若雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）與邊BC有公共點，則1≤k≤4，
綜上可得：若雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）與△ABC有公共點，則k的取值范圍是：1≤k≤$\frac{25}{4}$；

（3）如圖3，設直線AB的解析式為：y=mx+n，
∵點A為（1，2），點B為（4，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2}\\{4m+n=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{3}}\\{n=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{7}{3}$（1≤x≤4），
若雙曲線y=$\frac{n}{x}$（x＞0）與線段AB有公共點，
則$\frac{n}{x}$=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{7}{3}$，
整理得：x²-7x+3n=0，
∴△=49-12n≥0，
∴n≤$\frac{49}{12}$，
∵1≤x≤4，
∴n≥2，
∴若雙曲線y=$\frac{n}{x}$（x＞0）與線段AB有公共點，則n的取值范圍是：2≤n≤$\frac{49}{12}$．
故答案為：2≤n≤$\frac{49}{12}$．

點評 此題屬于反比例函數綜合題，考查了直線與反比例函數的交點問題以及一元二次方程的根的判別式．注意能借助一元二次方程根的判斷式求解是關鍵．