Question

6．請閱讀下面的材料：
如圖（1）所示，等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的中線，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，則有∠BAD=30°，BD=CD=$\frac{1}{2}$AB．于是可得出結論“直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”．

請根據(jù)從上面材料中所得到的信息解答下列問題：
（1）△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，則BC=$\frac{a}{2}$；
（2）如圖（2）所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線交AB于D，垂足為E，當BD=5cm，∠B=30°時，△ACD的周長=15cm；
（3）如圖（3）所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點，DE⊥AB，那么BE：EA=3：1；
（4）如圖（4）所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DM是AB的垂直平分線，BD=8cm，則AC=4cm；
（5）如圖（5）所示，在等邊三角形ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于點P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB與PQ的數(shù)量關系，并簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內角和定理推知∠A=30，∠C=90°．
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質知CD=BD，則△ACD的周長等于AC+AB；
（3）如圖3，連接AD．利用等腰三角形的性質、垂直的定義推知∠B=∠ADE=30°，然后由”30度角所對的直角邊是斜邊的一半“分別求得BE、AE的值；
（4）如圖4，連接AD，由DM是AB的垂直平分線，得到AD=BD=8cm，根據(jù)外角的性質得到∠ADC=30°，根據(jù)直角三角形的性質得到結論；
（5）如圖5，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可判斷兩個三角形全等；根據(jù)全等三角形的對應角相等，以及三角形外角的性質，可以得到∠PBQ=30°，根據(jù)直角三角形的性質即可得到．

解答 解：（1）∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，且∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=30，∠C=90°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{a}{2}$．
故答案為：$\frac{a}{2}$；

（2）如圖2，∵DE是線段BC的垂直平分線，∠ACB=90°，
∴CD=BD，AD=BD．
又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴△ACD的周長=AC+AB=3BD=15cm．
故答案為：15cm；

（3）如圖3，連接AD．
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點，
∴∠BAD=60°．
又∵DE⊥AB，
∴∠B=∠ADE=30°，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD，AE=$\frac{1}{2}$AD，
∴BE：EA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD：$\frac{1}{2}$AD，
又∵BD=$\sqrt{3}$AD，
∴BE：AE=3：1．
故答案為：3：1；

（4）如圖4，連接AD，
∵DM是AB的垂直平分線，
∴AD=BD=8cm，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AD=4cm，
故答案為：4cm；

（5））BP=2PQ．理由如下：
∵△ABC為等邊三角形．
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CD}\\{∠BAC=∠ACB}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ為△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．

點評 本題考查了等腰三角形的性質、等邊三角形的性質以及含30度角直角三角形的性質．直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半．