Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=2x²+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（0，-2），B（3，4）
（1）求拋物線的解析式，對(duì)稱軸和頂點(diǎn)；
（2）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C，記拋物線在A、B之間的部分為圖象G（包括A、B兩點(diǎn)）
①點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若直線CD與圖象G有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求點(diǎn)D縱坐標(biāo)t的取值范圍．
②點(diǎn)E是圖象G上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E與點(diǎn)B，點(diǎn)C構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形，在這些三角形中存在一個(gè)面積最大的三角形，求出這個(gè)三角形的面積，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=2x²+mx+n得m、n的方程組，再解方程組求出m、n即可得到拋物線解析式，然后把解析式配成頂點(diǎn)式即可得到拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①先利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-4），如圖，而頂點(diǎn)M（1，-4），設(shè)直線BC交直線x=1于N點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x，由于當(dāng)點(diǎn)D在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線CD與圖象G有公共點(diǎn)，于是可得t的范圍為-4≤t≤$\frac{4}{3}$；②根據(jù)三角形面積公式，△EBC的面積最大，則E點(diǎn)到BC的距離最大，而過點(diǎn)E平行于BC且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E到BC的距離最大，設(shè)過點(diǎn)E的直線解析式為y=$\frac{4}{3}$x+b，根據(jù)拋物線與直線的交點(diǎn)問題，通過方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}-4x-2}\\{y=\frac{4}{3}x+b}\end{array}\right.$有一組解可求出b和唯一解，從而得到E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（0，-2），B（3，4）代入y=2x²+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{n=-2}\\{18+3m+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=2x²-4x-2，
因?yàn)閥=2（x-1）²-4，
所以拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；
（2）①C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-4），如圖，頂點(diǎn)M（1，-4），直線BC交直線x=1于N點(diǎn)，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx，把B（3，4）代入得3k=4，解得k=$\frac{4}{3}$，
所以直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x，
當(dāng)x=1時(shí)，y=$\frac{4}{3}$，則N（1，$\frac{4}{3}$），
因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)D在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線CD與圖象G有公共點(diǎn)，
所以t的范圍為-4≤t≤$\frac{4}{3}$；
②因?yàn)椤鱁BC的面積最大，而BC為定值，所以E點(diǎn)到BC的距離最大，
所以過點(diǎn)E平行于BC且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E到BC的距離最大，
設(shè)過點(diǎn)E的直線解析式為y=$\frac{4}{3}$x+b，
方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}-4x-2}\\{y=\frac{4}{3}x+b}\end{array}\right.$有一組解，
消去y得到6x²-16x-6-3b=0，△=16²-4×6×（-6-3b）=0，解得b=-$\frac{50}{9}$，x=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)x=$\frac{4}{3}$時(shí)，y=$\frac{4}{3}$×$\frac{4}{3}$-$\frac{50}{9}$=-$\frac{34}{9}$，
所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，-$\frac{34}{9}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；記住三角形面積公式．